中考数学复习指导：《分式方程》的“非常”解法

分式方程的“非常”解法 解分式方程的一般思路通常是方程两边同乘以最简公分母，转化为整式方程解决.但是 对于某些分式方程，用常规解法很麻烦或无法求解;此时必须认真观察、仔细分析方程特点, 运用数学方法加以探索创新，找到最简方法.达到发展思维，开拓创新，灵活求解的目的. 一、换元法 例1 12 X 解方程一二 2009. 3 3 x 分析 方程中所有未知数的系数相同，并且分母互为相反数，故可考虑单参换元. 解 1 V 1 设X 3y,贝Ijx 2y l,则原方程可变为一 2009 ,即 y y - - 2010,0 2010,结论显然是矛盾的，所以原方程无解. v v 例2 、工口 32 8x332 8x9 解万程99 x2 4x ll x 4x13 分析 方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同，故可考虑运用双参换元法. 解 设3f8x 3 Y，x24x 11 z ,则原方程变形为业里堂，即 z z 2 yz 2y yz 6z,所以 y 3z,即 3/8x 5 3/4 尤 11,解得工一7 . 经检验，7是原方程的解. 二、特殊套用法 例3 解方程- 2-. x-132 分析 111Q yy_1 若分式方程为X 土 。 土，则其解为X] a, x, 土 .本题中里与 ,2与 xaax-1 3x [分别互为倒数，符合方程- -的特点，故可用此结论解答. 2x a 解 原方程变形为 - 2 -，设里,此时原方程变形 x-1 3x2x-1 为y y 1 111 二2 土,.・.、2或）7 土.即里 2或里 土，解得茶一2,易一上.经检 2 -2x-1x-1 21-5 验得改 -2,x2 都是原方程的解...原方程的解为西2, x2-|. 例4 解方程11...1io. x10 x lx 2 x 2x 3x 9x 10 分析 我们知道,,故本题可套用此公式化简. m lm 2 Qn 1 m 2 解原方程变形为 - ... 10,即 10 ,解得 x10 x1 x2 x2 x 3x9 x 10 x 1 9 9 x 一一 .经检验x 一一是原方程的解. 10 10 三、倒数法 1 1 9 1 例 5 已知 x 2,则 X . x 2- 分析 已知条件中，互为倒数2- 2 -,其中2,』互为倒数关系，利用此关系, x222 可有下面解法. ._11tv171,1,1 食牛 x H 2 ,.・.尤2,或工,x H 4 4. X 22- X2 44 例6解方程 17 4 2x-l 3x 2 1 3x2 2x-l 分析方程的左边两项为倒数之和，因此可用倒数法简化求解, 设竺二 3 2 y,则 3x2_ 1 2x-l y 原方程变形为y L 4 .y 4或丁 . 2x-19 当y 4时，则4,解之得x1-; 3x210 当V1时，则2日1,解之得x, 2. -43x 2 4- 5 96 经检验x,-,x2j是原方程的根. 四、构造法 例7解方程x2 x . X- X 3 分析此方程在形式上有很明显的特征，可以构造为上* 上型的方程来求解, x k 而不用常规解法. 解 原方程可化为/x 二 3 』. JTX 3 /. x2 x 3 x2 x . 解之得如匕应,退,4- 士如. 22 o 经检验x12 1A,x34 ---V21均是原分式方程的根. 1-23.42 6 五、局部通分法 ,..„ , „ x 3 x 4 X 6 x 7 例8解万程. X 4 X 5 x 7 X 8 分析 该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分 母及每个分式的分子与分母都顺序相差1,象这类通常采取局部通分法. 方程两边分别通分并化简，得 1 _ 1 x-4x-5 - x-7x-8 去分母得x-4x-5 x-7x-8 解之得x 6,经检验x 6是原分式方程的根. 点拨 此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优 越性.但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分.