中考数学复习指导:活用乘法公式巧解题
活用乘法公式巧解题 乘法公式是整式乘法的重要内容之一,是解题的重要依据,包括平方差公式 {a + b)(a -b) - a~ -b2以及完全平方公式(o ±= a2 ±2ab + b2.学好乘法公式,不仅 为今后的学习打下坚实的基础,同时也能提高解题的速度和正确率.学习乘法公式的关键在 于理解公式的结构特征,善于正向运用、逆向运用、变形运用,把握公式的内在联系. 一、正向应用 例 1.计算:(“ + 3)(0 —3)(/+9) 分析:(a + 3)(a-3)(/ +9)的前两项相结合可用平方差公式计算,其结果与(/ +9)相 乘又可再用一次平方差公式. 解:(“ + 3)(0 —3)(/+9) = (/_9)(/+9) =/一81. 例 2,试求(2 +1)(22 +1)(24+1)••-(232 +1) + 1 的个位数字. 分析:经观察原式不符合公式的结构特征,不能运用公式进行计算,如果在原式的前面 加一个因式(2 — 1),原式变形为:(2 —1)(2+ 1)(22+1)(24+1).(232 +1) + 1,便可连续使 用平方差公式. 解:(2 + 1)(2?+1)(24+ 1). (2^2+1) + 1 = (2-1)(2 +1)(22 +1)(24 +1)••-(232 +1) + 1 =(22 -1)(22 +1)(24 + 1)••-(232 + 1) + 1 —. = (264 —1) + 1 = 264 = (24)16 = 16“ 因此个位数字是6. 点评:解决这类题目时,先看式子的结构特征,如果不具备公式的特点就需要进行构造, 在同一题目中,可以连续多次使用公式. 二、逆向应用 公式的逆向应用就是从左到右使用公式解决有关问题. 例3.计算:2 6-1可以被60至70之间的哪两个整数整除? 分析:逆用两数的和乘以这两数的差的公式,将原式进行分解质因数. 解:296 -1 = (248 )2 -1 = (248 -1)(248 +1) =(248 +1)(224 +1)(224 -1) =(248 +1)(224 + 1)(2口 +1)(212-1) =(248 +1)(224 +1)(212 +1)(26 +1)(26 -1) =(248 + ])(224 +1)(212+1)x65x63, 所以这两个整数为65和63. 例4.已知江屏+疽+。2 + ] = 4沥,求a、力的值. 分析:a2b2+a2+b2+l = 4ab不符合公式的结构特征,不能直接运用公式求值.一般 情况下,当一个等式中含有两个未知数,且未知数的最高次数是2时,要构造完全平方式, 逆用完全平方公式,利用完全平方式的非负性解决问题. 解:因为江屏+W +)2 +1 = 4沥,所以江厅+q2+。2+]_%》=。, 所以 a2b~ - 2ab + l + a2 - 2ab + b2 = 0, 所以(ab-l)2+(a-bf =0, 所以 ab-1 = Q a-b = Q 所以 tz — 1 b = l 点评:解决这类题目的关键是逆用公式,注意非负数的性质的应用. 三、变形应用 例5.已知。—=2 ,则。之———. aa 分析:将a + - = 2两边平方,运用完全平方公式,可求出a2+-^的值;还可将 aa (Q + “)2 =疽* 2ab * b2变形为* >2 =*饥2 一 ,利用变形公式求解. 解:解法一■: *•* ci ~\— = 2,—)2 = 4,「・+ 2 •。—I—— = 4. aaa a I? + 2—— = 4 , 「・ I? —— = 2. aa 解法二:a~ +-^ = (a + -f-2xax- = 22-2 = 2. a aa 例6.已知ab — 2, a + b = 5 ,求下列各式的值:⑴a2 +b2 ; (2) (a — b)2. 分析:(1)由完全平方公式(a + bY =a2 + 2ab + b2变形得:a~ +b2 ={a + bf -lab. (2)由完全平方公式与平方差公式相结合得:(a-bV=(a + b)2-4ab. 解:(1) a2 +b- =(a + b)- -2ab^52 - 2 x 2 = 25-4 = 21. (2) (a 一力尸=(“ + 3)2—4沥= 52—4x2 = 25 —8 = 17. 点评:解决这类题常用的方法:(1)运用公式将所求的代数式作适当变形,使其变为能 用已知条件的形式;(2)将已知条件作恒等变形,使其变为待求的代数式的形式;(3)注意 完全平方公式的变式的应用:a1 +b2 = (a + b)2 -2ab = (a-Z?)2 + lab.