中考数学复习指导:动态几何问题的坐标解法
动态几何问题的坐标解法 在近几年各地的中考试题中,动态几何问题一直是考试的热点和难点.从题型上分,动 态几何主要有动点、动线和动图这三类,从运动的形式上看,有平移、翻折、旋转等. 动态几何问题是学生学习中的难点,一方面,它主要以几何图形为载体,运动变化为主 线,灵活运用数形结合,对多个知识点以及多种解题思想进行考查.另一方面,这类题综合 性强,能力要求高,要求学生能灵活运用已有知识对题目进行分析、探索、转换,其思想方 法大多是建立在对几何图形分析的基础上.其中有些题目学生用几何方法解决起来比较麻 烦,或者很难想到怎样解决,本文介绍另一种解决动态几何问题的方法一通过构建平面直 角坐标系来解决动态几何问题,这种方法对解决下列几种问题有一定的优越性.当然,用这 个方法有个很重要的前提:建立直角坐标系后,图中各个点的坐标都能比较方便地表示出来. 一、最值与轨迹长度问题 例1如图1,已知正方形ABCD的边长为4,点P是边上的一个动点,连结CP, 过点P作PC的垂线交AD于点E,以PE为边作正方形PEFG,顶点G在线段PC上, 对角线EG、PF相交于点。. (1) 在点P从点A到点3运动的过程中,AAPE的外接圆的圆心也随之运动,求该圆 心到边的距离的最大值; (2) 当点点P从点A运动到点3时,点。也随之运动,求点。经过的路径长. 分析 本题可以用几何的方法解决,但第(1)问中有些同学不会利用中位线将EP中点到 ab的距离转化为Lae ,导致问题难以解决;第(2)问学生对探究。点轨迹究竟是什么也很 2 困难.本题图形中看似有很多个动点,但主动点只有P,其它点都是随着P的变化而变化, 所以只要将P的运动方式(AP的长度随着P的变化而变化)利用坐标表示出来,其它点的坐 标也随之能够表示,这样第(1)问就转化为求AAPE的外接圆的圆心的纵坐标的最大值.第(2) 问探索0点轨迹就转化为探索0点横纵坐标之间的关系,求路径长也就是求0点在起始位 置和终点位置时两个点的距离. 解(1)以A为原点,以为x轴正半轴,AD^jy轴正半轴,建立直角坐标系如图. 设 AP = t,则由八EAP : APBC 得竺=生 AP BC AE 4 — 7 ~=^r 1 9 ・•・ E(0,-了 +。 「・线段EP的中点Af (—+ —0 1 9 1 1 9 1 点M 到 A8 的距离为‘ =一一t2+-t = 一一(—2)2+ 一 8282 故7 = 2时,点肱到A3的距离取最大值- 2 ⑵过点G作GH ±AB于点H,可得△ 三zX/WG 于是有 PH = AE = --t~ +t, GH = AP = t 4 1 , ••• G(一了2+ 2撰) 1。 1。 EG 的中点 0(——/“ ++7) 点0在直线y = x上运动,即点。的运动轨迹是线段.当7 = 0时,0(0,0);当7 = 4时, 。 (2,2). 点O的运动的路径长为00 = 2& 二、动直线过定点问题 例2如图2,正方形ABCD的边长为8cm, E、F、G、H分别是AB、BC、CD、 D4上的动点,且AE = BF = CG = DH . (1)求证:四边形EFGH是正方形; 分析 第(2)问的困难在于学生不知道经过的是哪个定点.图中看似有4个动点,但其实 只有一个主动点(不妨令其为点F ),其它三个点都随着这个主动点的变化而变化.只要设出 点F的坐标,就可以方便地得到直线EG的解析式,由此可判断这条直线是否经过一个定 点,并且经过哪个定点了. 解⑴略. (2)以B为原点,以BC为x轴正半轴,BA^jy轴正半轴,建立直角坐标系如图2. 设 BF = t,则 CF = 8 — t.易知 AEBF = AFCG 故 BE = CF = 8 — t, BF = CG = t 得 E(0,4~t)> G(4,t) 设EG的方程为y = kx + b,代入E、G的坐标,得 b-4-t 4k + b — t b = 4-t A EG 的方程为 y = (? 7 — l)x + 4 — 7 •.•当 x = 2 时,y = 2 直线EG经过(2,2). 三、点线位置关系与线段数量关系及位置关系问题 例3如图3,在AABC中,ZC = 90° , AB = 5cm, BC = 3cm,动点P在线段AC上 以5cm/s的速度从点A运动到点C,过点P作PD1AB于点D,将AAPD绕PD的中点 旋转180。得到AA DP ,设点P的运动时间为f(S). 当点A 落在边BC上时,求7的值; 在动点P从点A运动到点C过程中,当7为何值时,AA0C是以A B为腰的等腰 三角形? 如图3,另有一动点Q与点P同时出发,在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动 到点C,过点Q作QE1AB于点E,将 VQE绕QE的中点旋转180。得到 AB QE ,连结A B ,当直线A B 与AABC一边垂直时,求7的值. 图3 分析本题第(1)(2)两问可以通过画出图形,利用相似形找到相应的等量关系,从而解决 问题.但这个关系的发现恰恰就是解决这个问题的难点,尤其第(3)问很多学生更是无法找到 其中的关系得到方程.如果通过建立平面直角坐标系,就可以将位置关系转化为通过直线斜 率k之间的关系和点的坐标之间的关系,从而解决相关问题. 解(1)以B为原点,以BA为x轴正半轴,建立如图3所示平面直角坐标系.则A(5,0), 4 可得直线BC的方程为 又A (5 —&,37),代入BC的方程,得 .•.当t =—时,点A 落在边BC上. 20 (2)①若A,B = BC ,则A B2 = BC2,利用两点间距离公式,可得 (5 —8疔+(3疔=9 砰泊,40 ±12后 解得t = 73 ._ 40-120 73 ②若A B^A C,则A B2 = A C2,利用两点间距离公式,可得 9]2 (5 —8庆+(3疔=(5_8/_|)2+(3/__)2 解得/ = -,符合题意. 8 f50户一20( (3) 由 A (5 —&,37), B (67,47),可得直线 A B 的方程为丫 =x + 14/-514/-5 315 又直线AC的方程为 “―jx + 号 ① 当A B IAB时,由Xa,=Xb,得 5 — 8t= 6t 解得7 = 2 14 ② 当 A B IB C 时,A 37/AC •七_ 3 ,, 14/ — 5 — 4 .危 46 ③当 A B IAC 时,A B IIBC . t _420 14/-5 353