中考数学复习指导：动态几何问题的坐标解法

动态几何问题的坐标解法 在近几年各地的中考试题中，动态几何问题一直是考试的热点和难点.从题型上分，动 态几何主要有动点、动线和动图这三类，从运动的形式上看，有平移、翻折、旋转等. 动态几何问题是学生学习中的难点，一方面，它主要以几何图形为载体，运动变化为主 线，灵活运用数形结合，对多个知识点以及多种解题思想进行考查.另一方面，这类题综合 性强，能力要求高，要求学生能灵活运用已有知识对题目进行分析、探索、转换，其思想方 法大多是建立在对几何图形分析的基础上.其中有些题目学生用几何方法解决起来比较麻 烦，或者很难想到怎样解决，本文介绍另一种解决动态几何问题的方法一通过构建平面直 角坐标系来解决动态几何问题，这种方法对解决下列几种问题有一定的优越性.当然，用这 个方法有个很重要的前提建立直角坐标系后，图中各个点的坐标都能比较方便地表示出来. 一、最值与轨迹长度问题 例1如图1,已知正方形ABCD的边长为4,点P是边上的一个动点，连结CP, 过点P作PC的垂线交AD于点E,以PE为边作正方形PEFG,顶点G在线段PC上， 对角线EG、PF相交于点。. 1 在点P从点A到点3运动的过程中，AAPE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆 心到边的距离的最大值； 2 当点点P从点A运动到点3时，点。也随之运动，求点。经过的路径长. 分析 本题可以用几何的方法解决，但第1问中有些同学不会利用中位线将EP中点到 ab的距离转化为Lae ,导致问题难以解决;第2问学生对探究。点轨迹究竟是什么也很 2 困难.本题图形中看似有很多个动点，但主动点只有P,其它点都是随着P的变化而变化， 所以只要将P的运动方式AP的长度随着P的变化而变化利用坐标表示出来，其它点的坐 标也随之能够表示，这样第1问就转化为求AAPE的外接圆的圆心的纵坐标的最大值.第2 问探索0点轨迹就转化为探索0点横纵坐标之间的关系，求路径长也就是求0点在起始位 置和终点位置时两个点的距离. 解1以A为原点，以为x轴正半轴，ADjy轴正半轴，建立直角坐标系如图. 设 AP t,则由八EAP APBC 得竺生 AP BC AE 4 7 r 1 9 ・・ E0,-了 。 「・线段EP的中点Af 0 1 9 1 1 9 1 点M 到 A8 的距离为‘ 一一t2-t 一一22 一 8282 故7 2时，点肱到A3的距离取最大值- 2 ⑵过点G作GH AB于点H,可得△ 三zX/WG 于是有 PH AE --t t, GH AP t 4 1 , G一了2 2撰 1。 1。 EG 的中点 0/ 7 点0在直线y x上运动，即点。的运动轨迹是线段.当7 0时，00,0；当7 4时, 。2,2. 点O的运动的路径长为00 2 二、动直线过定点问题 例2如图2,正方形ABCD的边长为8cm, E、F、G、H分别是AB、BC、CD、 D4上的动点，且AE BF CG DH . 1求证四边形EFGH是正方形； 分析 第2问的困难在于学生不知道经过的是哪个定点.图中看似有4个动点，但其实 只有一个主动点不妨令其为点F ,其它三个点都随着这个主动点的变化而变化.只要设出 点F的坐标，就可以方便地得到直线EG的解析式，由此可判断这条直线是否经过一个定 点，并且经过哪个定点了. 解⑴略. 2以B为原点，以BC为x轴正半轴，BAjy轴正半轴，建立直角坐标系如图2. 设 BF t，则 CF 8 t.易知 AEBF AFCG 故 BE CF 8 t, BF CG t 得 E0,4t G4,t 设EG的方程为y kx b，代入E、G的坐标，得 b-4-t 4k b t b 4-t A EG 的方程为 y 7 lx 4 7 .当 x 2 时，y 2 直线EG经过2,2. 三、点线位置关系与线段数量关系及位置关系问题 例3如图3,在AABC中，ZC 90 , AB 5cm, BC 3cm,动点P在线段AC上 以5cm/s的速度从点A运动到点C,过点P作PD1AB于点D,将AAPD绕PD的中点 旋转180。得到AADP ,设点P的运动时间为fS. 当点A落在边BC上时，求7的值； 在动点P从点A运动到点C过程中，当7为何值时，AA0C是以AB为腰的等腰 三角形 如图3,另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动 到点C,过点Q作QE1AB于点E,将 VQE绕QE的中点旋转180。得到 ABQE ,连结AB,当直线AB与AABC一边垂直时，求7的值. 图3 分析本题第12两问可以通过画出图形，利用相似形找到相应的等量关系，从而解决 问题.但这个关系的发现恰恰就是解决这个问题的难点，尤其第3问很多学生更是无法找到 其中的关系得到方程.如果通过建立平面直角坐标系，就可以将位置关系转化为通过直线斜 率k之间的关系和点的坐标之间的关系，从而解决相关问题. 解1以B为原点，以BA为x轴正半轴，建立如图3所示平面直角坐标系.则A5,0, 4 可得直线BC的方程为 又A5 ,37,代入BC的方程，得 ..当t 时，点A落在边BC上. 20 2①若A，B BC ,则AB2 BC2,利用两点间距离公式，可得 5 8疔3疔9 砰泊，40 12后 解得t 73 ._ 40-120 73 ②若ABAC,则AB2 AC2,利用两点间距离公式，可得 9]2 5 8庆3疔5_8/_|23/__2 解得/ -,符合题意. 8 f50户一20 3 由 A5 ,37, B67,47,可得直线 AB的方程为丫 x 14/-514/-5 315 又直线AC的方程为 jx 号 ① 当ABIAB时，由Xa，Xb，得 5 8t 6t 解得7 2 14 ② 当 ABIB C 时，A37/AC 七_ 3 ,, 14/ 5 4 .危 46 ③当 ABIAC 时，ABIIBC . t _420 14/-5 353