课时作业58双曲线
课时作业58双曲线 ••>全员必做 一、选择题 22 1. 已知双曲线C:七-勺=1的焦距为10,点P(2,l)在C的渐近 线上,则C的方程为() 2222 A 土一也=1R、一匕=1 八・20 5 一1成 5 20-1 2222 X VXV c,80 20 1u,20 80 1 解析:因为双曲线的焦距为10,所以c = 5. b 又因为尸(2,1)在渐近线上,且渐近线方程为y=f, 2b 所以1 =号,即a=2b. 又因为。2=疽+力2=5力2=25,所以胪=5,。2=20 22 即双曲线方程为京一专=1. 答案:A 22 2. (2014-新课标全国卷I )已知双曲线力一;=1(。>。)的离心率为 2, 贝Lla=() A. 2B.乎 C.平D. 1 解析:由题知\解得。=1. 答案:D 22 3. (2014-天津卷)已知双曲线^2—^2=l(a>0, Z?>0)的一条渐近线平 22 R 土一乙=1 a 2O 5~l □•100 25 1 行于直线/: y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线/上,则双曲线的 方程为() 22 A、一匕=1 & 5 20 1 3?_3£= 「25 100 1 b 解析:渐近线平行于I, 得 c2=a2+b2=5a2=25,得 Q 2=5, Z?2=4q2=20,选 a. 则{=2,又焦点为(一5,0),贝lj c=5,可 答案:A 22 4. 已知双曲线的方程为右一春=1(q>03>0),双曲线的一•个焦点 到一条渐近线的距离为号c(其中c为双曲线的半焦距长),则该双曲线 的离心率为() A.| B•手 D.| b 解析:不妨取双曲线的右焦点(c,0),双曲线的渐近线为y=±会, 即bx±ay=0.则焦点到渐近线的距离为温二2=手c,即b=条 从 5493 M b2=-^c2=c2—a2,所以gC2=a2,即 e2=^,所以离心率 e=^. 答案:A 5. (2014-新课标全国卷I )已知”为双曲线C: x2—my2=3m(m>0) 的一个焦点,则点E到。的一条渐近线的距离为() A.y/3B. 3 C点mD. 3m 22 解析:由题意,可得双曲线。为希一:=1,则双曲线的半焦距C =p3m+3.不妨取右焦点(寸3初+3, 0),其渐近线方程为y=士* x, 即x或y=0.所以由点到直线的距离公式得故选A. yjl-r-m 答案:A 22 6. 已知双曲线分=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率 的取值范围为() A. (1, ^5)B. (1, ^5] C. (y[5, +8)D.邸,+8) h 解析:•双曲线的一条渐近线方程为)=%, a b 则由题意得乒2. •••葺=顼+陟>7^=5. 答案:C 二、填空题 7. (2014-北京卷)设双曲线。经过点(2,2),且与;一J = 1具有相 同渐近线,则。的方程为;渐近线方程为. 2 解析:双曲线乎一/= 1的渐近线为y=±2x,故C的渐近线为y =±2x,设C: ^—x2=m,并将点(2,2)代入。的方程,解得m=—3, 222 故C的方程为;一/=—3,即:一3=1. 答案:■y一节=1 y=±2x 8. 已知双曲线x2~y2=l,点Fi,形为其两个焦点,点F为双曲 线上一点,若PF.1PF2,则”&| + |所2|的值为. 解析:不妨设点尸在双曲线的右支上且Fp F2分别为左、右焦点, 因为PF」PFz,所以(2点)2=|所玲2, 又因为|所i| 一”玲=2, 所以(|所i| 一”弓)2=4,可得2”即|所2|=4, 贝U(“月I + |PF2|)2 =“日2 + |PF2|2 + 2\PF^PF2\ = 12,所以”耳 + \PF2\ = 2y[3. 答案:2寸 22 9. (2014-浙江卷)设直线X —3y + m = 0(m^0)与双曲线七-勺= 1(q>0M>0)的两条渐近线分别交于点A, &若点P(m,0)满足网| = |如|, 则该双曲线的离心率是. hh 解析:由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为>=%和〉=一? J ay a (—Qm —秫 x,分别与x — 3y m = Q联立,解得A ,~ , 3b a~3b) —am bm 、 B岳无,心力J,由|B4| = \PB\得,AB中点Q的坐标为 —am —am —bm bm、 Q a—3b a + 3Z? a —3b a + 3Z?,由PQ与已知直线垂直,解得 k 2 2) = 8Z?2=8(c2—a2), 即故 e=£=半. Cld Z 1=] 7^ .2 三、解答题 10. 双曲线的中心为原点O,焦点在X轴上,两条渐近线分别为 11,如 经过右焦点”垂直于“的直线分别交/1,/2于A,6两点.已 知I宓|, I屈|, I弟I成等差数列,且商与质同向. (1) 求双曲线的离心率. (2) 设直线A6被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程. 解:(1)设\OA\=m—d, \AB\ = m, \OB\=m-Vd, 由勾股定理可得(m—d)2+m2=(m+d)2, 1b 得 d=~^m, tanZAOF=~, tan £4 QB=tan2 匕 A OF= AB OA 由倍角公式’得一 =§ 解得§=;, 则离心率e=乎. (2)不妨设过E与/i垂直的直线方程为y=—c),与双曲线方 程分一春=1联立,将a=2b, c=\[5b代入,化简有,—耳W+21 =0, 4=[1+¥}优1—相 =,1+U][(X]+X2)2 —4X1X2】, 将数值代入,有4=\伸碧与 22 解得b=3,故所求的双曲线方程为妾一强=1. jo y 11. 设A, 6分别为双曲线务一右=l(a>0,力>0)的左,右顶点, 双曲线的实轴长为40,焦点到渐近线的距离为寸. (1) 求双曲线的方程; (2) 已知直线y=*x-2与双曲线的右支交于M、N两点,且在双 曲线的右支上存在点。,使OM+ON=tOD,求f的值及点。的坐标. b 解:⑴由题意知。=2寸,.•.一条渐近线为y=~ 即 bx—2^3y=0.= 22 .展2=3, .•.双曲线的方程为书一;=1. (2)设心⑴,yi), Ng 乃),D(x0, yo), 则 xi+ X2=tx(), yi+y2=tVo・ 将直线方程代入双曲线方程得X2-16y[3x+84=0, 是 X1 + 工2 = 16^3, y 1+,2 = 12. xo_4$ .0)在双曲线上.