课时作业55最值、范围、证明问题
课时作业55最值、范围、证明问题 基础达标演练 1. 已知点F为抛物线E: y2=2px(p>0)的焦点,点A(2, m)在抛物线E上,且|AF|=3. (1) 求抛物线E的方程; (2) 已知点G(-l,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相 切的圆,必与直线GB相切. 解:(1)由抛物线的定义得|AF|=2+j.因为|AF|=3,即2 +|=3,解得p=2,所以抛 物线E的方程为yz=4x. (2)证明:因为点A(2, m)在抛物线E: y?=4x上,所以m=±2匝. 由抛物线的对称性,不妨设A (2, 2^/2). 由A (2, 2吏),F (1,0)可得直线AF的方程为y=2吏(x—1).由『「心论X 1 〔y =4x, 得 2x —5x+2=0,解得 x=2 或 x=f, 从而 B&,一展)又 G(—1, 0), 所以知=菁半普, 所以&+临=0,从而ZAGF= ZBGF,这表明点F到直线GA, GB的距离相等,故以F 为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切. x2 2. (2017 -湖北黄冈一模)如图,已知点R, F2是椭圆G: y+y2=l的两个焦点,椭圆 x2 C2: y+y2= X经过点Fi, F2,点P是椭圆C2上异于F“ &的任意一点,直线PR和PF?与椭 圆G的交点分别是A, B和C, D.设AB, CD的斜率分别为k, k, . (1)求证:k • k7为定值; ⑵求|AB| • |CD|的最大值. 解:⑴证明:因为点耻,Fz是椭圆Ci的两个焦点,故Fi,F2的坐标是Fi(-1, 0),&(1, 0).而 点F“ 是椭圆C2上的点,将色,F2的坐标代入C2的方程得,X =| 设点P的坐标是(xo, yo), •直线 PR 和 PF2 的斜率分别是 k, k (k/0, k 乂 0), .kk - - Xo+1 Xo_ 1 Xo_ 1 又点P是椭圆C2上的点,故3+y5=f,② 联立①②两式可得kk‘ 即k • k 为定值. (2)直线PR的方程可表示为y=k(x+l)(kU0),与椭圆C】的方程联立,得到方程组 y=k x+1 , x2 2由方程组得(1 + 2k2)x2+4k2x+2k2—2 = 0.设 A(xi, yi), B(X2, y2), ^+y=l,• 41?2k2—2 则 X1+x2=-T+2p X1X2=T+2p- I AB I =^/l+k2|xi —x2 =寸1+妙• y/_X1+X2~~2—4x1X2 2^2 1+k2 =l+2k2. 同理可求得I CD I =4 1, nI [ ,4 4k4+5k2+l WIab • cd|=1+2k2 2 “+1) 9 =4 £+4*4 弓’ I k ) y[2 当且仅当k=±3-时等号成立. 9 故| AB | • I CD I的最大值等于芸 3. 已知以A为圆心的圆(x-2)2+y2=64±有一个动点M, B(—2,0),线段BM的垂直平 分线交AM于点P,点P的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程; ⑵过A点作两条相互垂直的直线L, L分别交曲线E于D, E, F, G四个点,求|DE + |FG|的取值范围. 解:⑴连接PB,依题意得|PB| = |PM|,所以|PB| + |PA|=|AM|=8,所以点P的轨迹E 是以A, B为焦点,4为长半轴长的椭圆,所以a=4, c = 2,则b = 2“l 22 一一X V 所以轨迹E的方程是木+为=1. 16 12 (2)当直线li, 12中有一条直线的斜率不存在时,|DE| + |FG| =6+8 = 14; 当直线li的斜率存在且不为0时,设直线11的方程为y=k(x—2), D(xi, y】),E(x2, y=k x—2 , “ 联立y2整理得(3 + 4k2) x2-16k2x +16k2-48 = 0, 页+L 16k216k2-48 •••xi + x2=E? X1X2= 3 + 4k2 DE | =。_1+k2xi —x2~5 =^/l+k2 . — ~xi + x2_ — 4X1X2 24 1 + k2 =3 + 41?, 同理可得fg|=244^ , 168k2+l 2 . - DEI + IFGI = 一 设 t=k2+l,则 t>l, 所以 DE| + |FG|=—, ,t — 1 12+— t —11 当t〉i时,易证y=飞厂在(1,2)上递增,在(2, +8)上递减,所以o0)有一个公共焦点,抛物线 a b G的准线1与椭圆G有一坐标是(吏,一2)的交点. (1) 求椭圆G与抛物线C2的方程; (2) 若点P是直线1上的动点,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A, B,直线AB 与椭圆G分别交于点E, F,求0E - OF的取值范围. 解:⑴抛物线C2的准线方程是y=-2,所以|=2, p=4,所以抛物线C2的方程是x, = 8y. 由题意知椭圆 Ci: 土+%=l(a>b>0)的焦点是(0, —2), (0, 2),所以 c=2, 2a=.2 + 0 a by +寸2 + 16=4彖,所以a=2y[i,所以b=2,所以椭圆Ci的方程是%+:=】• (2)设点 P(t, —2), A(xi, yi), B(X2, y2), E(x3, y3), F(x4, y4),抛物线方程可以化 为 y=gx2,得 y =}x,所以直线 AP 的方程为 y—yi=:xi(x —xi),所以一2 —yi=:xit —2yi, 即yi=jtxi + 2,同理,直线BP的方程为y2=jtx2+2,所以直线AB的方程为y=[tx+2, 将直线AB的方程代入椭圆Ci的方程得,(t2+32)x2+16tx-64=0,贝!! A =256t2+256(t2 t2 —16t—64v . 16 + 32) >0,且 X3+x4=[2+32, X3X4=肴车32,所以0E , OF=x3x4+ysy4=I 1 lx3x4(x3+x4) .-8t2+64320 8. —J— 4 9~Q t~+32V+32 320 因为 所以OE • OF的取值范围是(一8, 2]. 2 2. 已知椭圆C: %+§=l(a〉b>0)的长轴长为4,焦距为2寸1 (I) 求椭圆C的方程; (II) 过动点M(0, m) (m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A, P(P在第一象限),且M 是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B. 3)设直线?虬QM的斜率分别为k, k ,证明『为定值; K (ii