课时作业55最值、范围、证明问题

课时作业55最值、范围、证明问题 基础达标演练 1. 已知点F为抛物线E y22pxp0的焦点，点A2, m在抛物线E上，且|AF|3. 1 求抛物线E的方程； 2 已知点G-l,0,延长AF交抛物线E于点B,证明以点F为圆心且与直线GA相 切的圆，必与直线GB相切. 解1由抛物线的定义得|AF|2j.因为|AF|3,即2 |3,解得p2,所以抛 物线E的方程为yz4x. 2证明因为点A2, m在抛物线E y4x上，所以m2匝. 由抛物线的对称性，不妨设A 2, 2/2. 由A 2, 2吏，F 1,0可得直线AF的方程为y2吏x1.由『「心论X 1 〔y4x, 得 2x5x20,解得 x2 或 xf, 从而 B,一展又 G1, 0, 所以知菁半普， 所以临0,从而ZAGF ZBGF,这表明点F到直线GA, GB的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切. x2 2. 2017 -湖北黄冈一模如图，已知点R, F2是椭圆G yy2l的两个焦点，椭圆 x2 C2 yy2 X经过点Fi, F2,点P是椭圆C2上异于F“ 的任意一点，直线PR和PF与椭 圆G的交点分别是A, B和C, D.设AB, CD的斜率分别为k, k, . 1求证k k7为定值； ⑵求|AB| |CD|的最大值. 解⑴证明因为点耻,Fz是椭圆Ci的两个焦点，故Fi,F2的坐标是Fi-1, 0,1, 0.而 点F 是椭圆C2上的点，将色，F2的坐标代入C2的方程得，X | 设点P的坐标是xo, yo, ..直线 PR 和 PF2 的斜率分别是 k, k k/0, k 乂 0, ...kk- - Xo1 Xo_ 1 Xo_ 1 又点P是椭圆C2上的点，故3y5f,② 联立①②两式可得kk‘ 即k k为定值. 2直线PR的方程可表示为ykxlkU0,与椭圆C】的方程联立，得到方程组 yk x1 , x2 2由方程组得1 2k2x24k2x2k22 0.设 Axi, yi, BX2, y2, yl， 412k22 则 X1x2-T2p X1X2T2p- I AB I /lk2|xi x2 寸1妙 y/_X1X224x1X2 22 1k2 l2k2. 同理可求得I CD I 4 1, nI [ ,4 4k45k2l WIab cd|12k2 2 1 9 4 4*4 弓’ I k y[2 当且仅当k3-时等号成立. 9 故| AB | I CD I的最大值等于芸 3. 已知以A为圆心的圆x-22y264有一个动点M, B2,0,线段BM的垂直平 分线交AM于点P,点P的轨迹为E. 1求轨迹E的方程； ⑵过A点作两条相互垂直的直线L, L分别交曲线E于D, E, F, G四个点，求|DE |FG|的取值范围. 解⑴连接PB,依题意得|PB| |PM|,所以|PB| |PA||AM|8,所以点P的轨迹E 是以A, B为焦点，4为长半轴长的椭圆，所以a4, c 2,则b 2“l 22 一一X V 所以轨迹E的方程是木为1. 16 12 2当直线li, 12中有一条直线的斜率不存在时，|DE| |FG| 68 14； 当直线li的斜率存在且不为0时，设直线11的方程为ykx2, Dxi, y】，Ex2, yk x2 , 联立y2整理得3 4k2 x2-16k2x 16k2-48 0, 页L 16k216k2-48 xi x2E X1X2 3 4k2 DE | 。_1k2xi x25 /lk2 . xi x2_ 4X1X2 24 1 k2 3 41， 同理可得fg|244 , 168k2l 2 . - DEI IFGI 一 设 tk2l,则 tl, 所以 DE| |FG|, ,t 1 12 t 11 当t〉i时，易证y飞厂在1,2上递增，在2, 8上递减，所以oy-,所以Ide 96\「96「 |FG|的取值范围是［歹，14综上，|DE| |FG|的取值范围是［歹，14 . 优牛冲击名检 22 1.已知椭圆G 土la〉b0与抛物线C2 x2 2pyp0有一个公共焦点，抛物线 a b G的准线1与椭圆G有一坐标是吏，一2的交点. 1 求椭圆G与抛物线C2的方程； 2 若点P是直线1上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A, B,直线AB 与椭圆G分别交于点E, F,求0E - OF的取值范围. 解⑴抛物线C2的准线方程是y-2,所以|2, p4,所以抛物线C2的方程是x， 8y. 由题意知椭圆 Ci 土lab0的焦点是0, 2, 0, 2,所以 c2, 2a.2 0 a by 寸2 164彖,所以a2y[i,所以b2,所以椭圆Ci的方程是】 2设点 Pt, 2, Axi, yi, BX2, y2, Ex3, y3, Fx4, y4,抛物线方程可以化 为 ygx2,得 y }x,所以直线 AP 的方程为 yyixix xi,所以一2 yixit 2yi, 即yijtxi 2，同理，直线BP的方程为y2jtx22,所以直线AB的方程为y[tx2, 将直线AB的方程代入椭圆Ci的方程得，t232x216tx-640,贝 A 256t2256t2 t2 16t64v . 16 32 0,且 X3x4[232, X3X4肴车32,所以0E , OFx3x4ysy4I 1 lx3x4x3x4 .-8t264320 8. J 4 9Q t32V32 320 因为 所以OE OF的取值范围是一8, 2]. 2 2. 已知椭圆C la〉b0的长轴长为4,焦距为2寸1 I 求椭圆C的方程； II 过动点M0, m m0的直线交x轴于点N,交C于点A, PP在第一象限，且M 是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B. 3设直线虬QM的斜率分别为k, k,证明『为定值； K ii