课时分层作业19平面与平面垂直1
课时分层作业(十九)平面与平面垂直 (建议用时:60分钟) [合格基础练] 一、选择题 1. 经过平面a外一点和平面a内一点与平面a垂直的平面有() A. 0个B. 1个 C.无数个D. 1个或无数个 D [当两点连线与平面a垂直时,可作无数个垂面,否则,只有1个.] 2. 对于直线用,〃和平面a, 能得出a_L”的一个条件是() A. hi_Lh, m//a, n//PB. mJ_«, a A/i=m, nUa C. m//n, mCctD. m//n, m.La, n.L/3 C [因为m//n,所以m_L/^,又mUa,由面面垂直的判定定理,所 以 a_LQ.] 3. 设机,“是两条不同的直线,a,月是两个不同的平面.下列命题中正确 的是() A. 若 a_L万,mCct> nUg,则 m_Ln B. 若 a〃万,mCa, nUg,则 m//n C. 若 m_Ln> mCa, nUg,则 a_L“ D. 若m//n, n//p,贝J a.L/3 D [A中,m,“可能为平行、垂直、异面直线;B中,m,“可能为异面直 线;C中,m应与“中两条相交直线垂直时结论才成立.] 4. 如图所示,平面PADL矩形ABCD,且PA±AB,下列结论中不正确的是 A. PDLBD C. PBLBC D. PALBD A [若PDLBD,则3D上平面PAD, 又BAL平面则过平面外一点有两条直线与平面垂直,不成立,故A 因为平面PADL矩形A3CD,且PALAB,所以玲上矩形ABCD, 所以 PALCD, ADLCD, 所以CDL平面PAD,所以PD1. CD, 同理可证PBLBC. 因为玲上矩形ABCD, 所以由直线与平面垂直的性质得PALBD.it选A.] 5. 如图,A3是圆的直径,中垂直于圆所在的平面,。是圆上一点(不同于 A、B)且PA=AC,则二面角的大小为( ) A. 60° C. 45° B. 30° D. 15° [由条件得:PA±BC, AC±BC.5LFAHAC=A,所以 BCL平面 R4C,所 以ZPCA为二面角P-3C-A的平面角.在RtA.R4C中,由PA=AC,得ZPCA = 45°.] 二、填空题 6. 如图所示,平面al平面万,在a与。交线上取线段AB=4, AC, BD分 别在平面 a 和。内,AC±AB, BD±AB, AC=3, BD=12,则 CD=. 13 [连接 3C.因为 BD±AB,a±/3,an/3=AB,所以 BD±a. 因为BCUa,所以BDLBC,所以△C3D是直角三角形. 在 RtABAC 中,BC=^/32+42=5. 在 RtACBD 中,CD=^52+122=13.] 7. 如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PACL平面ABC, ZPC4 = 90°, AABC是边长为4的正三角形,PC=4,肱是AB边上的一动点,则的最小 值为. 2^7 [连接CM,则由题意知PC±平面A3C,可得PCLCM,p 所以PM^PC^+CM2,要求PM的最小值只需求出CM的最小 //l,c 值即可,在AABC中,当CMLAB时,CM有最小值,此时有 由 ¥ CM=4X^~=2y/3,所以皿的最小值为2^7.] 8. 若P是AABC所在平面外一点,且△PBC和AABC都是边长为2的正三 角形,队=重,那么二面角P-3C-A的大小为. 90° [取3。的中点0,连接Q4, OP(图略),则ZPOA为二面角P-BC-A的 平面角,OP=OA=y[3, PA=\[6,所以△PQ4为直角三角形,ZPOA=90°.] 三、解答题 9. 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=^AD, E是AD的中点,沿BE 将ZXABE折起至/WBE的位置,使A C=A D,求证:平面A BEL平面BCDE. [证明]如图所示,取CD的中点的中点N,连接A M, A N, MN,则 MN//BC. 1“尊7普 因为AB=^AD, &是AD的中点,c 所以 A3=AE, A B=A E. 所以 A N±BE.因为 A C=A D,所以 A ML CD. 在四边形BCDE中,CDLMN, 又 MNCA M=M, 所以平面A MN. 所以 CDLA N. 因为 DE//BC 且 DE=、BC, 所以BE必与CD相交. 5LA N±BE, A N±CD, 所以A N±平面BCDE. 又AWC平面A BE, 所以平面A BEL平面BCDE. 10.如图,在正方体ABCD-ArBiCiDr中.求证: (1)B1D± 平面 AiCjB; (2)BiD与平面AiCiB的交点设为O,则点O是AAiCiB的垂心. [证明](1)连接 BiDi,则 AiCiXBiDi, 又有 DDiLAiCi, BiDinDDi=Di, 所以 AiCi±平面 BiDDi, BiDU平面 BiDDi,从而 AiCi±BiD. 同理可证,A\BLB\D. AiCi C\AiB=Ai, 所以BiD±平面AiCiB. (2)连接 3。,AiO, CiO. 由 BBi±AiCi, BiOXAiCi,得到 AiG±平面 BB\O. 所以 AiCi±BO. 同理,AiBLCiO, BCiLAiO. 故点。是AAiCiB的垂心. [等级过关练] 1.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面a内,5.ACXPC,平面PAC±平 面PBC,点P, A, 3是定点,则动点。的轨迹是() A. 一条线段 B. 一条直线 C. 一个圆 D. 一个圆,但要去掉两个点 D [因为平面PACL平面PBC, ACLPC,平面PAC^平面PBC=PC, ACU 平面B4C,所以AC±平面PBC. 又因为3CU平面PBC,所以AC±BC. 所以 ZACB = 9Q°. 所以动点。的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和3两点.] 2,已知平面aL平面&, aC&=l,点A^a, A^l,直线AB//1,直线ACM, 直线m//a, m〃B,则下列四种位置关系中,不一定成立的是() A. AB//mB. AC_Lm C. AB///3 D. AC±/3 D [如图,AB//l//m,ACn,m//l^ACLm,AB//l^AB//p. 故选 D.]F ?^― 3. 如图所示,能为圆。的直径,点。在圆周上(异于点A, B),直线中垂直于圆。所在的平面,点M为线段的中点.有以下四个命题: ①〃平面MOB;②〃平面PAC;③OCL平面PAC-,④平面平面PBC. 其中正确的命题是.(填上所有正确命题的序号) ②④[因为B4U平面MOB,所以①不正确;因为肱0〃秩,而且平 面所以②正确;OC不垂直于AC,所以③不正确;因为BCLAC, BCLPA, ACHPA=A,所以BC±平面B4C,所以平面PACL平面PBC,所以④正确.] 4. 如图,平行四边形ABCD中,