课时跟踪检测(六)空间直角坐标系
课时跟踪检测(六)空间直角坐标系 [A级基础巩固] 1. 点A(—2, 3, 一4)关于坐标平面Ozr对称点4,的坐标为() A. (—2, —3, ~4)B. (2, —3, 4) C. (-2, -3, 4)D. (2, 3, -4) 详细分析:选A 点A的坐标中横、竖坐标不变,纵坐标变为原来的相反数即得的 坐标为(一2, -3, -4). 已知i, j, k分别是空间直角坐标系Oxyz中X轴、y轴、Z轴的正方向上的单位向量, 且乙言=—i+j—k,则点8的坐标是() A. (―1, 1, — 1) (―i, j, — k) C. (1, -1, -1) D.不确定 详细分析:选A 由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(一 1, 1, 一 1). 2. 如图,在长方体 OABC-OiAiBiCi 中,Q4=3, OC=59 001=4, 点P是BiG的中点,则点P的坐标为() A. (3, 5, 4) (|, 3, 4) C.(|, 5, 4) 详细分析:选C 由题图知,点F在x轴、,轴、z轴上的射影分别为Pi, Pi, P3,它 们在坐标轴上的坐标分别是§ 5, 4,故点P的坐标是5, 4). 3. 巳知 OA =8a+6b+4c,其中 a=i+j, b=j+k, c=k+i, {i, j, k}是空间向量的一 个单位正交基底,则点A的坐标为() A. (12, 14, 10)B. (10, 12, 14) B. (14, 10, 12)D. (4, 2, 3) 详细分析:选 A O4=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j + 10k=(12, 14, 10). 4. 巳知在长方体ABCD-AjBiCiDi中,向量a在基底{击,~AD,瓦3}下的坐标为(2, 1, -3),则向量a在基底{万才,~DC,尻}下的坐标为() A. (2, 1, -3)B. (-1, 2, -3) B. (1, -8, 9)D. (-1, 8, -9) 详细分析:选 B Va = 2^4B +AD-3Z^ = 2DC-DA-3O^ = -DA+2DC- 3DDi,向量a在基底{万t, DC, 诚}下的坐标为(一1, 2, -3),故选B. 5. 设{i, j, k}是空间向量的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k, b=i+2j-3k,则向量 a+b的坐标是. 详细分析:a+b=3i—2j+2k=(3, -2, 2). 答案:(3, -2, 2) 6. 三棱锥 P-ABC 中,ZABC= 90°, P8_L平面 ABC, AB=BC=PB =1,肱,N分别是PC, AC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz, 则向SM2V的坐标为. 详细分析:因为AB=BC=PB=1, 所以可设顽=i, ~BC=], ~BP=k,所以MN=AIB + B2V = -^(BP + BC)+|(BA + 尻)=抓一抑=;i-;k=G,o, -(). 答案:& o, -3 7. 在长方体ABCD-AiBiGS中,若矛 =3i, ~AD=2j, 疝=5k,则向量忌在基底 {i, j, k}下的坐标是. 向量4G在基底 详细分析:AG= AB + BC + CG= AB + AC+AX=3i+2j+5k, {i, j, k}下的坐标是(3, 2, 5). 答案:(3, 2, 5) 8. 已知ABCD-AiBiCiDi是棱长为2的正方体,E, F分别为BBi和 DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出万亩,~DE,市的 坐标. 解:O^=DA + DC+D^=2i+2j+2k=(2, 2, 2). UE=~Dl+~D^+^DDi=2\+2]+k=(2, 2, 1). DF=|DC=j=(O, 1, 0). 9. 已知电垂直于正方形ABCD所在平面,M, N分别是AB, PC的中点,并且81 =AD=1,试建立适当的空间直角坐标系并写出向量万日的坐标. 解:如图所示,因为PA=AD=AB=1,且削_L平面ABCD, AD±AB, 所以可ikDA =i, AB =j, AP =k,以{i, j, k}为基底建立空间直角坐标? / -/MBy 系 Axyz.x 因为疏+~AP +~PN =^MA + AP +|pc =M4 + AP +^(PA +AD + DC) =_|j+k+;(—k—i +j) = —|i +|k, ~DC=~AB=jf 所以疏=(一;,0,DC=(0, 1, 0). [B级综合运用] 10. 若p=xa+jb+zc,则称(x, y, z)为p在基底{a, b, c}下的坐标.若一向量p在 基底{a, b, c}下的坐标为(1, 2, 3),贝!I向量p在基底{a+b, a—b, c}下的坐标为() A.& I,3 B. (|,3 C. (3, -§ | D. (-I,3) 详细分析:选B 设p在基底(a+b, a—b, c}下的坐标为(x, y9 z), 则 p=a+2b+3c=x(a+b)+j(a—b)+zc=(x+j)a+(x—j)b+zc, x+y=l9 x~y=29 、z=3, r 3 x=r i 、z=3, 故p在基底(a+b, a—b, c}下的坐标为g, —3). 11. 已知 a=(3, 4, 5), ei=(2, —1, 1), 02=(1, 1, —1), ©3=(0, 3, 3),若 a=xei +je2+ze3,贝!) x=, y=, z= 详细分析:由题意设a=3i+4j+5k, ei=2i—j+k, e2=i+j—k, e3=3j+3k,又 a=xei+je2+ze3, 所以 3i+4j+5k=x(2i-j+k)+_y(i+j-k)+z(3j+3k)=(2x+_y)i+(—x+_y+3z)j+(x-y+ 7 6 2 解得i y = y 3 z=3. v 2 3z)k, 2x+j=3, 所以,—x+j+3z=4, ,x—j+3z=5, 12. 如图所示,正四面体的棱长为1, G是△8CZ>的中心,建 立如图所示的空间直角坐标系,则归的坐标为,京的坐标为 详细分析:设{i, j, k}为所建空间直角坐标系的一个单位正交基底, 由题意可知,BG==BE=Mx淳=#,所以 ag=\Iab2—bg2=^,所以由e = _^k= (o, 0, 一约’ 云FF=普k=“, 一平,一约. 答案:(o, 0,书(o,-乎,书 13. 已知正方体ABCD-ArBiCiDr的棱长为1,点分别在线段AQ, AC上,M EFLAiD, EF±AC,以点£>为坐标原点,DA, DC,如1分 别作为x轴,7轴,z轴建立空间直角坐标系(如图所示). ⑴试求向量诙的坐标; (2)求证:EF//BD1. 解:(IL正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为1,根据题意知{ZM, DC, £>£>i}为单位正 交基底,