课时跟踪检测二空间向量的数量积运算
课时跟踪检测(二)空间向量的数量积运算 [A级基础巩固] 1. 已知两异面直线的方向向量分别为a, b,且|a|=|b|=l, ab=-|,则两直线的夹 角为() A. 30°B. 60° C. 120°D. 150° 解析:选B 设向量力的夹角为们 则cos所以9=120°,则两个方 向向量对应的直线的夹角为180。一120。=60。. 2. 已知a, 是异面直线,且知ei, e2分别为取自直线a, bl.的单位向量,且m =2e(+3e2, n=fcei-4e2, m±n,则实数A 的值为() B. 6 A. —6 C. 3D. -3 解析:选 B 由 m-Ln,得 m*n=09(2^i+3e2)*(kei—4^2)=0.2k—12=0./.k=6. 3.(多选)如图所示,正方体ABCD-AiBiGDi的棱长为a,对角线 q AG和相交于点。,则有()为~7(^1 一一,企 A. A\B-B\C=(rDkL_._k.l-_ 一一厂 2A— =() A*B.平 1- 2 - C. 解析:选 D OA- BC = OA-(OC - OB)= OA - OC - OA - OB =\OA\\OC |cos =§, \OB\=\OC \,所以 ft4BC=0,所以 OA ± BC,所以 cos〈百,BC> =0. 5.已知在平行六面体ABCD-AiBiGDi中,AAi=AB=AD=l,且这三条棱彼此之间的 夹角都是60°,则AG的长为() A. 6B.a/6 C. 3D.a/3 解析:选 B iSiAB =a, AD =b, AAi=c, 则 |a|=|Z>|=|c|=l, 且〈a, b〉—〈b, c) =〈c, a〉=60°, 因此 a-b=b-c=c-a=^. 由AG=a+Z>+c 得 \ACi\2=ACt2=a2+b2+c2+2a-b+2b-c+2c-a=6. :.\ACi\=y[6,故选 B. 6.已知空间中四点 A, B, E, C, ^AB ^BE =AB HiC,则成~CE. 解析:AB BE = AB BC,则 AB (BE - BC)= AB CE =0.:. AB 1. CE. 答案:± 7.已知a, b是空间两个向量,若|a|=2, |b|=2, [a—b[=函,则cos〈a, b〉=. 解析:将\a—b\=yf7两边平方,#(a—Z>)2=7. 因为|a|=2, |“=2,所以 a-b=k. 又 a*b=\a\\b\cos〈a, b〉,故 cos =1,从而〈BiC, AiP> = 60°. 答案:60° 1 9.在长方体 ABCD-AiBiCiDi 中,AB=AAi=2, AD=4, E 为侧面 AA^BiB 的中心,F 为Ai£)i的中点,求下列向量的数量积: (1) BC EDit (2) BF ABi. 解: 如图,设AB =a9 AD =b, AAi=c,则\a\=\c\=2f \b\=49 n・b=b・c=c・a=0. ⑴尻•云=诙•(胡+涂i)=〃R(c—a)+=阴2=42=16. >> > > > > ( 1、 (2)BF・A8i = (BAi+AiF)・(AB+AAi)=(c-a+矽J(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0. 10.如图,正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a. ⑴用向量法证明BD±PC; ⑵求 |AC + PC|&«J 值. 解:⑴证明: :^D =~BC+~CD, /.^•PC=(BC+CD)PC = BC-PC +CO-TC > >> >I I = \BC\\PC |cos 60° +1 CZ> 11 PC |cos 120°=第2 -~a2=0.:. BD ± PC. (2) AC +PC = AB + BC +~PC, :.\AC +~PC |2=|AB |2 4-\BC |2 4-\PC R+2AB BC +2 AB-PC +2BC-PC =a2+a2+ a2+0+2a2cos 60°+2a2cos 60°=5a2, .*.|AC +~PC \=y[5a. [B级综合运用] 11.设A, B, C,。是空间不共面的四点,且满足A8・AC=0, AC AD=O, AB AD =0,则△3。£>是() A.钝角三角形B.锐角三角形 C.直角三角形D.等腰三角形 解析:选 B ,.,BD=AD-AB, BC = AC-AB, ~BD •诙=(AD-AB)-(AC-AB) = AD-AC-AD-AB-AB-AC + |AB|2=|AB|2>0, ,—> —、 /. cos ZCBD=cos〈 BC, BD ) => ~ >0, IBCII BO I :.ZCBD为锐角,同理,ZBCD与NBQC均为锐角, .♦.△BCD为锐角三角形. 12.已知 削_L平面 ABC,垂足为 A, ZABC= 120°, PA=AB=BC=6,贝!J PC 等于 解析:如图所示,V PC =“B4 + AB + BC , :.~PC2=~PA2+^B2+ ~BC2+2AB ^BC = 36+36+36+2 X 36 X cos 60°=144. /. \PC |=12. 答案:12 1