高中数学复习学(教)案(第42讲)圆的方程
题目:第七章直线和圆的方程F圆的方程 高考要求 1. 掌握圆的标准方程和一般方程. 2. 了解参数方程的概念.理解圆的参数方程. 3. 掌握圆的方程的两种形式并会根据具体情况选择其中的一种解题; 4. 掌握圆系方程并会运用它解决有关问题; 5. 灵活运用圆的几何性质解决问题. 知识点归纳: 1. 圆的定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆. 2. 圆的标准方程 圆心为(a, b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-幻2 = 方程中有三个参量a、b、r,因此三个独立条件可以确定一个圆’ 3. 圆的一般方程 二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0. (*)配方得 ,,。、2, , , E、2+e2-4F —) + (y+——)=■ 224 把方程x2 +y2 +Dx + Ey + F +E2 -4F >0) 其中,半径是r =——,圆心坐标是—匕―巳 叫做圆的一 20. 6. 线段AB为直径的圆的方程:若A(xqi), B(x2,y2),则以线段AB 为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2) + (y-y1)(y-y2) = 0. 7. 经过两个圆交点的圆系方程:经过x2+y2 +Dlx + Eiy + F1=0, x2 + y“ + D2x + E2y + F2 = 0的交点的圆系方程是: x~ + y~ + D/ + y +《++ y“ + D?x + E.y + ) = 0 > 在过两圆公共点的图象方程中,若』=—1,可得两圆公共弦所在的直线 方程 8. 经过直线与圆交点的圆系方程:经过直线Z: Ax + By + C = 0与圆 尸+寸+Dx + Ey + F = Q的交点的圆系方程是: x + y“ + Dx + Ey + F + A(^Ax + By + C) = 0 9. 确定圆需三个独立的条件 (1)标准方程:(x - a)2 + (y - b)2 = r2, (a,b)——圆心,r——半径. (2) 一般方程:x2+ y2 +Dx + Ey + F = 0, ( D2 + E2 -4F >0) 圆心, a/d2 +E2 -4F r = 2 题型讲解:; 例1 (1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程; (2)求以0(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程. 2x0 — y0 — 3 = 0 解:(1)设圆心Pgyo),则有{,, =3。-3)2+3。一 2)2 [(x0-5)2+(y0-2)2 解得 Xo=4, y0=5, .•.所求圆的方程为(X—4)2+(y—5)2=10. (2)采用一般式,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标 代入列方程组解得:D=—2, E=—4, F=0s 点评:第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式. 例2设A (-c, 0)> B (c, 0) (c>0)为两定点,动点尸到A点的距 离与到B点的距离的比为定值a (a>0),求P点的轨迹. 分析:给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一,其基本方法就 是把几何条件代数化;主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质,即 用代数的方法研究几何问题, 解:设动点P的坐标为(x, y), 由如(a>o)得 / + c)2+y2=a. 化简,得 (1 —a2) x2+2c (1+/) x+c2 (1 —a2) + (1 —a2) y2=0. 当q=1时,方程化为x=09 当 aQ 时,方程化为(x —=^c)2 + y2 =(-^)2 ci — 1ci — 1 所以当0=1时,点P的轨迹为y轴; 当好1时,点p的轨迹是以点(乌旦C, 0)为圆心,I率H为半径 Q — 1Q — 1 的圆. 点评:本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识,考查运用解析几何的方法解决问题的能力,对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也 考查了分类讨论这一数学思想. 例3 —圆与y轴相切,圆心在直线x—3y=0上,且直线y=x截圆所 得弦长为277,求此圆的方程. 分析:利用圆的性质:半弦、半径和弦心距构成的直角三角形, 解:因圆与y轴相切,且圆心在直线x—3y=0上, 故设圆方程为(x —3b)2+(y —。)2=9。2, 又因为直线y=x截圆得弦长为2 77 , 则有(• \3b-b\ )2 + (J7)2=9/A 解得员土 1.故所求圆方程为 (x — 3)2+(y — l)2 =9 或(x + 3)2+(y + l)2 =9. 点评:在解决求圆的方程这类问题时,应当注意以下几点:(1)确定圆 方程首先明确是标准方程还是一般方程;(2)根据几何关系(如本例的相切、 弦长等)建立方程求得。、力、r或D、E、F; (3)待定系数法的应用,解 答中要尽量减少未知量的个数. 例4已知。。的半径为3,直线Z与。。相切,一动圆与/相切,并与 。。相交的公共弦恰为。。的直径,求动圆圆心的轨迹方程, 分析:问题中的几何性质十分突出,切线、直径、垂直、圆心,如 何利用这些几何性质呢? 解:取过。点且与/平行的直线为x轴,过。点且垂直于/的直线为y 轴,建立直角坐标系, 设动圆圆心为肱(x, y), 。。与③M的公共弦为AB,与/切于点C, ^\\MA\=\MC\. :AB为。。的直径, .•.M0垂直平分AB于Q 由勾股定理得 \MA^=\MO |2+ 012=?+/+9, 而网 C|=|y