高中数学复习学(教)案(第42讲)圆的方程

题目第七章直线和圆的方程F圆的方程 高考要求 1. 掌握圆的标准方程和一般方程. 2. 了解参数方程的概念.理解圆的参数方程. 3. 掌握圆的方程的两种形式并会根据具体情况选择其中的一种解题; 4. 掌握圆系方程并会运用它解决有关问题； 5. 灵活运用圆的几何性质解决问题. 知识点归纳 1. 圆的定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合轨迹叫圆. 2. 圆的标准方程 圆心为a, b,半径为r的圆的标准方程为x-a2y-幻2 方程中有三个参量a、b、r,因此三个独立条件可以确定一个圆’ 3. 圆的一般方程 二次方程 x2y2DxEyF0. *配方得 ,,。、2, , , E、2e2-4F y■ 224 把方程x2 y2 Dx Ey F E2 -4F 0 其中，半径是r ,圆心坐标是匕巳 叫做圆的一 222 般方程. 1 圆的一般方程体现了圆方程的代数特点检、y2项系数相等且不 为零,没有xy项 2 当步厅4F0时，方程*表小点,； 22 当D2E24F0时，方程*不表示任何图形. 3 根据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般 方程 4圆的参数方程 ①圆心在。0, 0,半径为r的圆的参数方程是 x r cosa y r sin a a是参数 ②圆心在点Ca, b,半径为r的圆的参数方程是 x a 尸 cos。 0是参数 y b rsma 在①中消去。得x2y2r2,在②中消去。得工一q 2 y/ 2r2,把 这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程. 5. 二元二次方程AxBxyCy2DxEyFO表示圆的充要条件 若二元二次方程AxBxyCy2DxEyF0表示圆，则有AC尹0, 30, 这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分. off 在AC尹0, 30时，二兀二次方程化为检y之 x一 y一0, A A A 仅当D2E2-4AF0时表示圆， 故Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是 ①QCK0,②B0, D2E2-4AF0. 6. 线段AB为直径的圆的方程若Axqi, Bx2,y2,则以线段AB 为直径的圆的方程是x-x1x-x2 y-y1y-y2 0. 7. 经过两个圆交点的圆系方程经过x2y2 Dlx Eiy F10, x2 y D2x E2y F2 0的交点的圆系方程是 x y D/ y y Dx E.y 0 在过两圆公共点的图象方程中，若』1,可得两圆公共弦所在的直线 方程 8. 经过直线与圆交点的圆系方程经过直线Z Ax By C 0与圆 尸寸Dx Ey F Q的交点的圆系方程是 x y Dx Ey F AAx By C 0 9. 确定圆需三个独立的条件 1标准方程x - a2 y - b2 r2, a,b圆心，r半径. 2 一般方程x2 y2 Dx Ey F 0, D2 E2 -4F 0 圆心, a/d2 E2 -4F r 2 题型讲解； 例1 1求经过点A5,2,B3,2,圆心在直线2x-y-30上的圆的方程; 2求以00,0,A2,0,B0,4为顶点的三角形OAB外接圆的方程. 2x0 y0 3 0 解1设圆心Pgyo,则有｛,, 3。-323。一 22 [x0-52y0-22 解得 Xo4, y05, ..所求圆的方程为X42y5210. 2采用一般式,设圆的方程为x2y2DxEyF0,将三个已知点的坐标 代入列方程组解得D2, E4, F0s 点评第1,2两小题根据情况选择了不同形式. 例2设A -c, 0 B c, 0 c0为两定点，动点尸到A点的距 离与到B点的距离的比为定值a a0,求P点的轨迹. 分析给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就 是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即 用代数的方法研究几何问题， 解设动点P的坐标为x, y, 由如ao得 / c2y2a. 化简，得 1 a2 x22c 1/ xc2 1 a2 1 a2 y20. 当q1时，方程化为x09 当 aQ 时，方程化为x c2 y2 -2 ci 1ci 1 所以当01时，点P的轨迹为y轴； 当好1时，点p的轨迹是以点乌旦C, 0为圆心，I率H为半径 Q 1Q 1 的圆. 点评本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也 考查了分类讨论这一数学思想. 例3 圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且直线yx截圆所 得弦长为277,求此圆的方程. 分析利用圆的性质半弦、半径和弦心距构成的直角三角形, 解因圆与y轴相切，且圆心在直线x3y0上， 故设圆方程为（x 3b）2（y 。）29。2, 又因为直线yx截圆得弦长为2 77 , 则有（ \3b-b\ 2 J729/A 解得员土 1.故所求圆方程为 x 32y l2 9 或x 32y l2 9. 点评在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点（1）确定圆 方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、 弦长等）建立方程求得。、力、r或D、E、F； （3）待定系数法的应用，解 答中要尽量减少未知量的个数. 例4已知。。的半径为3,直线Z与。。相切，一动圆与/相切，并与 。。相交的公共弦恰为。。的直径，求动圆圆心的轨迹方程， 分析问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如 何利用这些几何性质呢 解取过。点且与/平行的直线为x轴，过。点且垂直于/的直线为y 轴，建立直角坐标系， 设动圆圆心为肱（x, y）, 。。与③M的公共弦为AB,与/切于点C, \\MA\\MC\. AB为。。的直径， ..M0垂直平分AB于Q 由勾股定理得 \MA\MO |2 012/9, 而网 C||y