高三一轮复习丛书51推理与证明
推理与证明 【知识要点】 1. 合情推理 (1) 归纳推理:根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有 这种性质的推理,叫做归纳推理。归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理; (2) 类比推理:根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具 有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理,叫做类比推理。,它属于合情推理; 类比推理的一般步骤: ① 找出两类事物之间的相似性或一致性; ② 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想); (3) 合情推理的过程概括为: 2. 演绎推理:根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理,叫做演绎推 理。演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真。常用三段论常用格式 3证明 (1) 反证法:要证明某一结论A是正确的,而是先去证明A的反面(非A)是错误的,从 而断定A是正确的即反证法.反证法是间接证明的一种方法。 (2) 分析法:分析法的思维特点是:执果索因; 分析法的书写格式“要证……只需……“或“=“。 (3) 综合法:由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的证明方法。 综合法的思维特点是:由因导果. 直接证明中最基本的两种方法是综合法和分析法。 【典例解析】 例1:观察下列等式 FT I3 +23 =32 I3 + 23 +33 =62 I3 + 23 +33 +43 =102 由此猜想:冬+23+3’+•.• + 1? =。 例2:已知等差数列有一性质:若{a”}为等差数列,则通项为如= | *a2+- + an的数列 n {如}也是等差数列,类比上述命题,相应的等比数列有性质:若位胡是等比数列尾>0)时, 则通项为bn =的数列也是等比数列。 【巩固练习】 1. 观察式子:i+4 22-5 + 2-52,24 +54 > 23-5 + 2-53,25 +55 > 23-52 + 22-53,…….将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广, 使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式可以是. 9. 已知数列{%}满足巧=2 , an+i = I*““ ( “c N*),则a3的值为, 1-弓 ax-a,- a3o2007 的值为. 10.已知圆的方程是x2 + y2 =r2,经过圆上一点M(x„,y0)的切线方程为x()x+= r2, 22 11.如右上图,一个小朋友按如图所示的规则练习数数, 1大拇指,2食指,3中指,4无名指,5小指,6无名 指,.,一直数到2008时,对应的指头是 类比上述方法可以得到椭圆圭+冷=1类似的性质为. 2\8\10U6 沙* •w ¥・ 1 1 1 • 12.在RtAABC中,两直角边分别为。、b ,设/i为斜边上的高,则f = f + 由此类 h a b 比:三棱锥S-ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直,且长度分别为。、人、设 棱锥底面ABC上的高为们 则・ 13.如图的三角形数阵中,满足:(1)第1行的数为1; (2)第n(nN2)行首尾两数均为n, 其余的数都等于它肩上的两个数相加.则第n行(nN2)中第2个数是(用n表示)・ 511 14115 61625 25166 三、解答题 14 若下列三个方程:x2 + 4ax - 4a + 3 = 0, x2 + (a -l)x + a2 = 0 , x2 + 2ax - 2a = 0 中至 少有一个方程有实根,试求实数a的取值范围。 15. AABC的三个内角A、B、C成等差数列, 求证:+=——=—— a + b b + c a + b + c 16.己知a, b, c为互不相等的实数, 求证:a4 +b4 +c4 >abc(a + b + c)。 【反思后记】