【精品】高考复习:求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的常用方法 一、求轨迹方程的一般方法: 1. 待定系数法:如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛 物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程, 也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法:如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点P满足 的等量关系易于建立,则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系,再用点P的坐标(x, y) 表示该等量关系式,即可得到轨迹方程。 3. 参数法:如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个几何量t,以 此量作为参变数,分别建立P点坐标x, y与该参数t 的函数关系x = f (t), y=g (t),进而通过消 参化为轨迹的普通方程F(x, y) =0o 4. 代入法(相关点法):如果动点P的运动是由另外某一点P,的运动引发的,而该点的运动规律 已知,(该点坐标满足某已知曲线方程),则可以设出Plx, y),用(x, y)表示出相关点P的坐标, 然后把P 的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程。 5. 几何法:若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线,角平分线 的性质等),可以 用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单。 6:交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题通常通过 解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去两方程的 参数,也可直接消去参数得到轨迹方程),该法经常与参数法并用。 二、求轨迹方程的注意事项: 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律,即P点满足的等量 关系,因此要学会动中求静,变中求不变。 2. 轨迹方程既可用普通方程F(x,y) = 0表示,又可用参数方程I* = “)(£为参数) 来表示,若要判断轨迹方程表示何种曲线,则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解,(即以该方程的某些解为 坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解。(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示),出现增 解则要舍去,出现丢解,则需补 充。检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形。 4. 求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一-一缀述。 三、典例分析 1. 用定义法求曲线轨迹 求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用 题设中的几何条件,通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系,在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时, 要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用,只要动点满足已知曲线定义时,通过待定系数法就可以直 接得出方程。 例1:已® AABC的顶点A, B的坐标分别为(-4, 0), (4, 0), C为动点,且满足sin B + sin A = — sin C, 4 求点C的轨迹。 【解析】由 sin + sin A =-sin C,pT 知 b + a = 3c = 10,即 I AC I + I BC 1= 10 ,满足椭圆 44 22 的定义。令椭圆方程为二+ % = 1,则a =5,c =4=>方=3, a b 22 则轨迹方程为—+ ^ = 1 (x?±5),图形为椭圆(不含左,右顶点)。 259 【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 (1) 圆:到定点的距离等于定长 (2) 椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离) (3) 双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离) (4) 到定点与定直线距离相等。 【变式1】:1:已知圆(x + 4)+”的圆心为Mi,圆(x-4) + 7 °的圆心为M2, 动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程。 解:设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得:|PMJ=R + 5 , |PM2l=R + l。 .,.|PM]|-5=|PM2 I-HPMJ-IPMj 1=4 .•.动圆圆心P的轨迹是以Mi、M2为焦点的双曲线的右支,c=4, a=2, b2=12„ x2 v2 ———=l(x 2 2) 故所求轨迹方程为412 2:一动圆与圆O: x2 + y2 =1外切,而与圆C: x2 + y2 -6x + 8 = 0内切,那么动圆的圆心M的轨迹是: A:抛物线B:圆C:椭圆D:双曲线一支 【解答】令动圆半径为R,则有<+ 则IMOI-IMCI=2,满足双曲线定义。故选D。 I MC \=R-1 2. 用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。 例2: a条线段A8的长等于两个端点A和3分别在x轴和y轴上滑动,求|r AB中点P的轨迹方程?AI 解设M点的坐标为(x,y)由平几的中线定理:在直角三角形AOB中,F) OM= ? AB = f x 2q = q, I~77-222 /. yjx +y — ci^x + y =q M点的轨迹是以。为圆心,a为半径的圆周. 【点评】此题中找到了 OM=-AB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况: 2 1) 代入题设中的已知等量关系:若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出,则采用直接将数量关 系代数化的方法求其轨迹。 2) 列出符合题设条件的等式:有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设条件列出等式, 得出其轨迹方程。 3) 运用有关公式:有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应的恒等变换即 得其轨迹方程。 4) 借助平几中的有关定理和性质:有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中的有关定理、 性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其数量的关系,这种借助几何定 理的方法是求动点轨迹的重要方法. I pA I 【变式2】:动点F (x,y)到两定点A (—3, 0)和B (3, 0)的距离的比等于2 (即= 2),求动点 \PB\ P的轨迹方程? [解答]L\PA 1= 7(x + 3)2 + y2,1 PB\= J(x-3)2 +y2 代入 = 2得 / + 3)= 2 m (x + 3尸 + y2 = 4顷_3)2 + 4y2 庭 I 7(x-3)2 + y2 化简得(x-5) 2+y2=16,轨迹是以(5, 0)为圆心,4为半径的圆. 3. 用参数法求曲线轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。注意参数的取值范围。 例3.过点P(2, 4)作两条互相垂直的直线1“ 12,若11交x轴于A点,12交y轴于B点,求线段AB的 中点M的轨迹方程。 【解析】 分析1:从运动的角度观察发现,点M的运动是由直线h引发的,可设出11的斜率k作为参数,建立 动点M坐标(x, y)满足的参数方程。 解法1:设M (x, y),设直线li的