【精品】高考复习：求轨迹方程的常用方法

求轨迹方程的常用方法 一、求轨迹方程的一般方法 1. 待定系数法如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛 物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数,即可得到轨迹方程, 也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足 的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x, y） 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t,以 此量作为参变数，分别建立P点坐标x, y与该参数t 的函数关系x f （t）, yg （t）,进而通过消 参化为轨迹的普通方程F（x, y） 0o 4. 代入法（相关点法）如果动点P的运动是由另外某一点P，的运动引发的，而该点的运动规律 已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出Plx, y）,用（x, y）表示出相关点P的坐标, 然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 5. 几何法若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线 的性质等），可以 用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 6交轨法在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题通常通过 解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的 参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 二、求轨迹方程的注意事项 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量 关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 2. 轨迹方程既可用普通方程F（x,y） 0表示，又可用参数方程I* ）（为参数） 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为 坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增 解则要舍去，出现丢解，则需补 充。检验方法研究运动中的特殊情形或极端情形。 4. 求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一-一缀述。 三、典例分析 1. 用定义法求曲线轨迹 求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用 题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时， 要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直 接得出方程。 例1已 AABC的顶点A, B的坐标分别为-4, 0, 4, 0, C为动点，且满足sin B sin A sin C, 4 求点C的轨迹。 【解析】由 sin sin A -sin C,pT 知 b a 3c 10,即 I AC I I BC 1 10 ,满足椭圆 44 22 的定义。令椭圆方程为二 1,则a 5,c 4＞方3, a b 22 则轨迹方程为 1 x5,图形为椭圆不含左，右顶点。 259 【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 1 圆到定点的距离等于定长 2 椭圆到两定点的距离之和为常数大于两定点的距离 3 双曲线到两定点距离之差的绝对值为常数小于两定点的距离 4 到定点与定直线距离相等。 【变式1】1已知圆x 4”的圆心为Mi，圆x-4 7 的圆心为M2, 动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。 解设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得|PMJR 5 , |PM2lR l。 .,.|PM]|-5|PM2 I-HPMJ-IPMj 14 ..动圆圆心P的轨迹是以Mi、M2为焦点的双曲线的右支，c4, a2, b212„ x2 v2 lx 2 2 故所求轨迹方程为412 2一动圆与圆O x2 y2 1外切，而与圆C x2 y2 -6x 8 0内切，那么动圆的圆心M的轨迹是 A抛物线B圆C椭圆D双曲线一支 【解答】令动圆半径为R,则有＜ 则IMOI-IMCI2,满足双曲线定义。故选D。 I MC \R-1 2. 用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。 例2 a条线段A8的长等于两个端点A和3分别在x轴和y轴上滑动，求|r AB中点P的轨迹方程AI 解设M点的坐标为x,y由平几的中线定理在直角三角形AOB中，F OM AB f x 2q q, I77-222 /. yjx y cix y q M点的轨迹是以。为圆心，a为半径的圆周. 【点评】此题中找到了 OM-AB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况 2 1 代入题设中的已知等量关系若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关 系代数化的方法求其轨迹。 2 列出符合题设条件的等式有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式, 得出其轨迹方程。 3 运用有关公式有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即 得其轨迹方程。 4 借助平几中的有关定理和性质有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、 性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定 理的方法是求动点轨迹的重要方法. I pA I 【变式2】动点F x,y到两定点A 3, 0和B 3, 0的距离的比等于2 即 2,求动点 \PB\ P的轨迹方程 ［解答］L\PA 1 7x 32 y2,1 PB\ Jx-32 y2 代入 2得 / 3 2 m x 3尸 y2 4顷_32 4y2 庭 I 7x-32 y2 化简得x-5 2y216,轨迹是以5, 0为圆心，4为半径的圆. 3. 用参数法求曲线轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。 例3.过点P2, 4作两条互相垂直的直线1“ 12,若11交x轴于A点，12交y轴于B点，求线段AB的 中点M的轨迹方程。 【解析】 分析1从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线h引发的，可设出11的斜率k作为参数，建立 动点M坐标x, y满足的参数方程。 解法1设M x, y,设直线li的