《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)
00n 7. 幕级数y(-i)n——的和函数是 合 2%! z_£ A. e~zB,云C. e D. sin z 8. 设C是正向圆周|z| = 2,则飞亭=() A. 0B. -2〃i C.D. 2〃i 9. 设函数/ (z)在Ov|z — z°|vR (OvRV+oo)内解析,那么z°是/ (z)的极点 ( ) B. lim /(z) =oo ZTZo D.以上都对 ( ) b.|z-i|:—,z — 1 vl 二、填空题(本大题共5小题,每题3分,共15分) 11. z = l + J万i的共轴复数z= . 12. 设 z = (2-3i)(-2 + i),贝!J arg z = . 13. 在复平面上,函数/(z) = x2 - / -x+i(2xy-y2)在直线 上可导. 14. 设C是正向圆周|z|=l,则《竺. 000000 15. 若级数£z«收敛,而级数£|z“|发散,则称复级数ZX为— n=ln=ln=\ 学号和姓 名务必正确清 楚填写。因填 写错误或不清 楚造成不良后 果的,均由本 人负责;如故 意涂改、乱写 的,考试成绩答 视为无效。题 XXXX学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数试卷|学号“ 学号(最后两位) 总分 题号 一 二 三 四 统分人 题分 30 20 30 30 复查人 得分 得分 评卷人 复查人 1. Re(iz) = A. - Re(iz) C. -Imz 2.函数f(z) = |z「在复平面上 一、单项选择题(本大题共10小题,每题3分,共30 分,请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项, 并将其前面的字母填在题中括号内。) B. ImQz) D. Im z A.处处不连续B.处处连续,处处不可导 C.处处连续,仅在点z = 0处可导D.处处连续,仅在点z = 0处解析 n — h 3. 设复数】与力有且仅有一个模为1,则 仁匕的值() \-ab A.大于1B.等于1C.小于1D.无穷大 4. 设z = x+iy, /(z) = -y + ix,贝U /r(z)=() 5.设。是正向圆周回=1 , £ ^-dz = 27ri, zn 则整数〃等于( ) A. — 1B. 0 C. 1 D. 2 6. z =。是=的 Z ( ) A. 1阶极点B. 2阶极点 C.可去奇点 D.本性奇点 A. 1 + iB. i C, — 1D. 0 20.计算积分L z2tZz. 得分 评卷人 复查人 三、证明题(本大题共1小题,每小题15分,共15分) 21.试证明柯西不等式定理:设函数/*(z)在圆C:\z-z0\ = R所围的区域内解析,且在C 上连续,则 |严(z°)X 警伽= 1,2,.) K 其中肱是|y(z)|在c上的最大值. 得分 评卷人 复查人 三、计算题(本大题共5小题,每小题8分,共40分) 16. 利用柯西-黎曼条件讨论函数f (z) = z的解析性. 17. 判断数列zw^20— m的收敛性.若收敛,求出其极限. 〃 +1 18. 求在映射下,z平面上的直线z = (2 + i)f被映射成w平面上的曲线的方程. 19. 求营在z = 0处的泰勒展开式. 4 消去,,得u=a“(“20) 这是W平面上第一象限内的一条半直线。 19.解:因为(e/=eW = 0,l,2,.),其展开式中泰勒系数为 _严(0)_ 1 Cn=~^T = n\ 于是/在z = 0处的泰勒展开式为 00 一〃_nn E Z vZZ ——= l + z + ——+ “=0 〃!2!«! 20. 解:L Z。也=:z3 ir = ?(l + i)3 =§(-l + i) J0 333 五、证明题(本大题15分) 21. 证:由假设条件及高阶导数公式,有 ”) = 3厂牛也(“ = 1,2,.) 2〃i Jc (z-z0) 于是 ”%。』项芒*(”,…) 4 M … 1 (“T8) 〃+1 〃+1 所以limz“=i n—>co 18.解:直线z = (2 + i“的参数方程为 [x = 2t, <(—00 < / < 00) I y = t 在w=z2映射下,该直线被映射成VV平面上的曲线 w=z2=(2+i)2户=(3 + 4i)户 于是u = 3t2, v = 4尸,