33提高函数应用全章复习与巩固学生版
《函数应用》全章复习与巩固 【学习目标】 1. 理解方程的根与函数零点的关系,会用二分法求函数零点. 2. 进一步理解函数是刻画日常生活规律的重要模型,在用函数的过程中理解函数的概念、性质和函数 思想方法. 3. 在用数学解决问题的实践中,感受数学应用的层次,体验数学建模的过程和步骤,了解数学建模的 意义,发展应用数学的意识. 【知识网络】 利用函数性质判定方程解的存在 函数与方程 利用二分法求方程的近似解 函数应用 实际问题的 函数建模 用函数模型解决实际问题 【要点梳理】 要点一:函数、方程的有关问题 1. 一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0 (a^O)的根与二次函数y= ax2+bx+c (aNO)的图像有如下关 系: 一元二 次方程 ax^+bx+c=0 的根 有两个不相等的实数根 Xi,x2 有两个相等实数根 xrx2 没有实数根 二次函数 2 y=ax +bx+c 的图像与X轴的交 点 (X1,O), (x2,o) (xpO) 没有交点 要点诠释: (1) 方程的根与函数的零点:方程/U)=0有实数根。函数y=fix)的图象与x轴有交点=函数y= 必)有零点. (2) 方程的根与函数的零点:方程关0=0有实数根的个数。函数 >=关0的图象与x轴有交点的个 数o函数y=j(x)的零点的个数. 2. 函数零点的判定 (1) 利用函数零点存在性的判定定理 如果函数y = f(x)在一个区间切,句上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即 /(a)/(Z>) 0, /(%)在(。力)内也可能有零点,例如f(x) = %2 在[-1,1]上,/(x) = x2-2x-3在区间[—2,4]上就是这样的.故/ (X)在(a,。)内有零点,不一定有 ③ 若函数/ (X)在区间[a,b]±.的图象不是连续不断的曲线,/ (X)在(a,。)内也可能是有零点,例 如函数/(x) = - + 1在[—2,2]上就是这样的. (2) 利用方程求解法 求函数的零点时,先考虑解方程/(%) = 0,方程/(%) = 0无实根则函数无零点,方程/(%) = 0有 实根则函数有零点. (3) 利用数形结合法 函数F(x) = /(x)-^(x)的零点就是方程/(x) = g(x)的实数根,也就是函数y = /Xx)的图象与 y = g(x)的图象交点的横坐标. 3. 用二分法求函数零点的一般步骤: 已知函数y = f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个零点X。的近似值X,使它满足给定的精确 度. 第一步:在D内取一个闭区间[%,妇jO,使/■ (%)与/ (如)异号,即/■(%)•/■(%)0,则零点位于区间[而,々]中,令a2=xY,b2 =Z?1; 继续实施上述步骤,直到区间[an,bn],函数的零点总位于区间上,当%和。,按照给定的 精确度所取的近似值相同时,这个相同的近似值就是函数y = f(x)的近似零点,计算终止.这时函数 y = /(%)的近似零点满足给定的精确度. 要点诠释: (1) 第一步中要使:①区间长度尽量小;②f(a)、/ 0)的值比较容易计算且/(«)•/(/?) 0,不存在实数cgb)使得/(c) = 0 ; B. 若/(«)/(/?)0,有可能存在实数c — (a,b)使得/(c) = 0 ; D. 若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数ce(a,b)使得/(c) = 0 . 举一反三: 【变式1】判断下列结论是否正确,若不正确,请使用函数图象举出反例: (1) 已知函数y=Kx)在区间[a,力]上连续,且f(a)・f0)〈O,则/■(#在区间(a,力)内有且仅有一个 零点. (2) 已知函数y=f(心在区间[a,切上连续,且A a) - A A) ^0,则/ (x)在区间(a, 0)内没有零点. (3) 已知函数y=f{x)在区间[a,刮满足/(a) • / (6)<0,则f(x)在区间(a,力)内存在零点. 【变式2】函数f(x)=2 +3x的零点所在的一个区间是() A. (—2, —1) B. (— 1, 0) C. (0, 1)D. (1,2) 【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根,一般可以借助求根公式或因式分解等方法,