33提高函数应用全章复习与巩固学生版

函数应用全章复习与巩固 【学习目标】 1. 理解方程的根与函数零点的关系，会用二分法求函数零点. 2. 进一步理解函数是刻画日常生活规律的重要模型，在用函数的过程中理解函数的概念、性质和函数 思想方法. 3. 在用数学解决问题的实践中，感受数学应用的层次，体验数学建模的过程和步骤，了解数学建模的 意义，发展应用数学的意识. 【知识网络】 利用函数性质判定方程解的存在 函数与方程 利用二分法求方程的近似解 函数应用 实际问题的 函数建模 用函数模型解决实际问题 【要点梳理】 要点一函数、方程的有关问题 1. 一般地，一元二次方程ax2bxc0 aO的根与二次函数y ax2bxc aNO的图像有如下关 系 一元二 次方程 axbxc0 的根 有两个不相等的实数根 Xi，x2 有两个相等实数根 xrx2 没有实数根 二次函数 2 yax bxc 的图像与X轴的交 点 X1，O, x2,o xpO 没有交点 要点诠释 1 方程的根与函数的零点方程/U0有实数根。函数yfix的图象与x轴有交点函数y 必有零点. 2 方程的根与函数的零点方程关00有实数根的个数。函数 关0的图象与x轴有交点的个 数o函数yjx的零点的个数. 2. 函数零点的判定 1 利用函数零点存在性的判定定理 如果函数y fx在一个区间切，句上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 /a/Z 0 ,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点，即存在一点x0 e 。，b，使f 气0, 这个X。也就是方程/ 0的根. 要点诠释 ① 满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个.若函数在区间内单调，则只有 一个；若不单调，则个数不确定. ② 若函数f3在区间伊,可上有/■ /00, /在。力内也可能有零点，例如fx 2 在［-1,1］上，/x x2-2x-3在区间［2,4］上就是这样的.故/X在a,。内有零点，不一定有 ③ 若函数/X在区间［a,b］.的图象不是连续不断的曲线，/X在a,。内也可能是有零点，例 如函数/x - 1在［2,2］上就是这样的. 2 利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程/ 0,方程/ 0无实根则函数无零点，方程/ 0有 实根则函数有零点. 3 利用数形结合法 函数Fx /x-x的零点就是方程/x gx的实数根，也就是函数y /Xx的图象与 y gx的图象交点的横坐标. 3. 用二分法求函数零点的一般步骤 已知函数y fx定义在区间D上，求它在D上的一个零点X。的近似值X,使它满足给定的精确 度. 第一步在D内取一个闭区间［,妇jO,使/■ 与/如异号，即/■/■,零点 位于区间［,妇中. 第二步取区间［,。］的中点，则此中点对应的坐标为 xo 5。一 5. 计算/入0和/■，并判断 ① 如果f玉 0,则X。就是/X的零点，计算终止； ② 如果/■/■气0 ,则零点位于区间［,吒］中，令。］。0，力1玉； ③ 如果/■/■毛0 ,则零点位于区间［入。,％］中，令。1工0，力1如 第三步取区间［,々］的中点，则此中点对应的坐标为 改 -1 ai -ai 々. 计算/xj和/］，并判断 ① 如果/［ 0,则就是/的零点，计算终止； ② 如果则零点位于区间中,令。2。1，如工1； ③ 如果/a1-/x10,则零点位于区间［而,々］中,令a2xY,b2 Z1； 继续实施上述步骤，直到区间［an,bn］,函数的零点总位于区间上，当％和。,按照给定的 精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y fx的近似零点，计算终止.这时函数 y /的近似零点满足给定的精确度. 要点诠释 1 第一步中要使①区间长度尽量小；②fa、/0的值比较容易计算且/// 0. 2 根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的.对于求 方程/ gx的根，可以构造函数Fx fx-gx,函数尸x的零点即为方程/ gx的 根. 要点二函数的实际应用 求解函数应用题时一般按以下几步进行 第一步审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言， 然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求. 第三步求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合 实际背景. 上述四步可概括为以下流程 实际问题文字语言m数学问题数量关系与函数模型n建模数学语言n求模求解数学问 题n反馈还原成实际问题的解答. 【典型例题】 类型一关于函数的零点与方程根的关系问题 例1.若函数y /在区间［a,b］.的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是 A. 若 /// 0,不存在实数cgb使得/c 0 ； B. 若/// 0,存在且只存在一个实数cea,b使得/c 0 ； C. 若/W0,有可能存在实数c a,b使得/c 0 ； D. 若fafb0,有可能不存在实数cea,b使得/c 0 . 举一反三 【变式1】判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例 1 已知函数yKx在区间［a,力］上连续，且fa・f0〈O,则/■在区间a,力内有且仅有一个 零点. 2 已知函数yf心在区间［a,切上连续，且A a - A A 0,则/x在区间a, 0内没有零点. 3 已知函数yf{x在区间［a,刮满足/a /60,则fx在区间a,力内存在零点. 【变式2】函数fx23x的零点所在的一个区间是 A. 2, 1 B. 1, 0 C. 0, 1D. 1,2 【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法,