2021高考数学讲义专题01函数与导数热点问题

专题01函数与导数热点问题 热点预测 真题印证 核心素养 导数与函数的性质 2017- II, 21; 2018- I , 21; 2017-III, 21; 2018- II, 21 数学运算、逻辑推理 导数与函数的零点 2018- II, 21(2); 2018■江苏，19 数学运算、直观想象 导数在不等式中的应用 2017-III, 21; 2017- II, 21; 2016- II, 20; 2018- I , 21 数学运算、逻辑推理 1.教材与■高考对接数在不等式中的应用 【题根与题源】(选修2-2 P32习题1.3B组第1题(3)(4)) 利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证. (3) W>l+xE0)； (4) ln xl +ln x(x>。且x^l),进而得到一组重要的不等式链：ex>x+ l>x— l>ln x(x>0且溟1). 3. 利用函数的图象(如图)，不难验证上述不等式链成立. 【教材拓展】试证明：ex-ln x>2. 证明 法一 设 Ax)=e*—lnx(x>0),则 f(x)—ex~~,令 则9 (x)=e，+去〉。在(0, +8)恒成立，所以饥*)在(0, +8)单调递增, 即/(x)=ex~^(0, +8)上是增函数，又/(l)=e—1>0, f(^=y[e—2xo0^, /(x)>0；当02. ・\XX)min=Kxo)=Wo-In xo=—+xo>2, 法二 注意到ex^l +x(当且仅当工=0时取等号)，x—l^lnx(当且仅当工=1时取等号), ex-\-x~ 1>1 +x+ln x, ex_In x>2. 【探究提高】 1. 法一中关键有三点：(1)利用零点存在定理，判定极小值点xo^G，I); (2)确定eX=n，xo=-ln x0的关系; ⑶基本不等式的利用. 2. 法二联想经典教材习题结论，降低思维难度，优化思维过程，简洁方便. 【链接高考】 (2017-全国III 卷)已知函数 fix) = In x+ax1+(2a +1 )x. (1) 讨论九工)的单调性； 3 (2) 当qvO时，证明锯一2. 不 分析需再次求导推断 笑破I尸⑴的符号 解决函数儿的零点 “导 【自主解答】 【探究提高】 1. 利用导数研究函数的零点主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.考查的主要形式：（1）求函数 的零点、图象交点的个数；（2）根据函数的零点个数求参数的取值或范围. 2. 导数研究函数的零点常用方法：（1）研究函数的单调性、极值，利用单调性、极值、函数零点存在定理来求 解零点问题；（2）将函数零点问题转化为方程根的问题，从而同解变形为两个函数图象的交点，运用函数的 图象性质求解. 【尝试训练】 已知三次函数危:）=“+*+cx+d（a, b, KR）过点（3, 0）,且函数/U）在点（0, /（0））处的切线恰好是直线y =0. （1）求函数犬》）的解析式； （2）设函数g（x）=9x+〃z—1,若函数 >=必）一g（x）在区间［―2, 1］上有两个零点，求实数m的取值范围. 3. 满分答题示范导数与函数 的 性质 【例题】（12分）（2017-浙江卷）已知函数J（x） = （x—y/2x_l）L. （1）求玲0的导函数； （2）求/（X）在区间+8）上的取值范围. 【规范解答】 (1)函数r(z)的定义域为[+，+8),rm 2.l2) — 1 J X e -20—l)(r —-) J2_z—1 ( 72x-l + 2)er (2)由(1)知f (a ) = 0解得x= 1,或工=亍， 7’国 函数广(工)与/(G随卫变化的情况如下： X x ~2~ (T-1) 1 (勺 _5_ ~2 (n ) f 3 — 0 + 0 — /(•r) 1 _± —e 2 0 1 _直 —e 2 2 4 9 团 (71)2 乂 g)=—m2。， 11 回 (z + J2了 一］) 因此/ 3 )在区间，一8)上的取值范围是 ,。，捉*]. 12,⑥ 4. 高考状天满分心得 ❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”、求得满分.如第(1)问中求定义域，求导，第(2)问中求零点 和列表. ❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分如第(2)问中，对九x)N0的判断. ❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中求导准确变形到位；第(2)问中规范列表, 正确计算出处)的最值. 【构建棋板】 晅逐)……求定义域 I 厘三方)求导y=f，(飞)(注意变形) I (fjj)……求丁 = /“)的零点 I 晅列表(呈现y=ff(z)与y=/Cr)的变化情况) I 判断y=f(x)图象的趋势,求出函数最值 I 晅秀……检验反思，规范步骤，明确结论 【规范训练】 (2018•全国I卷改编)已知函数j(x)=^—x+a\n x. (1) 试讨论函数7U)的单调性； (2) 设尤1，刀2是九工)的两个极值点，且X2>xi,设t=fix\)~f(X2)— (a~2)(xi~xi),试证明r>0. 1. 已知函数f^x)=\nx—ax2+x有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 2. 已知函数f(x)=2xi+ax1+bx+3在尤=—1和x=2处取得极值. ⑴求只工)的表达式和极值； ⑵若/(工)在区间［m, m+4］上是单调函数，试求m的取值范围. 3. 已知函数» = («.v+.r)eA,其中e是自然对数的底数，KR. ⑴当a>0时，解不等式NOVO; (2)当” =0时，求整数，的所有值，使方程»=x+2在［7, 7+1］上有解. 一X~\~ CL 4. (2019-合肥一中质检)已知函数川)=丁. ⑴若九工)在区间(一00, 2)上为单调递增函数，求实数“的取值范围； (2)若“=0, x0