2021高考数学讲义专题01函数与导数热点问题

专题01函数与导数热点问题 热点预测 真题印证 核心素养 导数与函数的性质 2017- II, 21; 2018- I , 21; 2017-III, 21; 2018- II, 21 数学运算、逻辑推理 导数与函数的零点 2018- II, 212; 2018■江苏，19 数学运算、直观想象 导数在不等式中的应用 2017-III, 21; 2017- II, 21; 2016- II, 20; 2018- I , 21 数学运算、逻辑推理 1.教材与■高考对接数在不等式中的应用 【题根与题源】选修2-2 P32习题1.3B组第1题34 利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证. 3 WlxE0； 4 ln xxe*x0. 【试题评析】 1. 问题源于求曲线yex在0, 1处的切线及曲线y ln x在1, 0处的切线，通过观察函数图象间的位置关 系可得到以上结论，可构造函数fxex-x-l与gxxlnxl对以上结论进行证明. 2. 两题从本质上看是一致的，第4题可以看作第⑶题的推论.在第⑶题中，用Tnx”替换“x”，立刻得到xl ln xx。且xl,进而得到一组重要的不等式链exx lx lln xx0且溟1. 3. 利用函数的图象如图，不难验证上述不等式链成立. 【教材拓展】试证明ex-ln x2. 证明 法一 设 Axe*lnxx0,则 fxex,令 则9xe，去〉。在0, 8恒成立，所以饥*在0, 8单调递增, 即/xex0, 8上是增函数，又/le10, fy[e20f ・\/a e，一在，1内有唯一的零点.不妨设/xoO,则泌。*,从而xoin *Inxo, 所以当xxo0, /x0；当0X时，ravO..项;velux在工处有极小值，也是最小值. 1 .故 ex_In x2. ・\XXminKxoWo-In xoxo2, 法二 注意到exl x当且仅当工0时取等号，xllnx当且仅当工1时取等号, ex-\-x 11 xln x, ex_In x2. 【探究提高】 1. 法一中关键有三点1利用零点存在定理，判定极小值点xoG，I; 2确定eXn，xo-ln x0的关系; ⑶基本不等式的利用. 2. 法二联想经典教材习题结论，降低思维难度，优化思维过程，简洁方便. 【链接高考】 2017-全国III 卷已知函数 fix In xax12a 1 x. 1 讨论九工的单调性； 3 2 当qvO时，证明锯一2. 不 分析需再次求导推断 笑破I尸⑴的符号 解决函数儿的零点 导 【自主解答】 【探究提高】 1. 利用导数研究函数的零点主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.考查的主要形式（1）求函数 的零点、图象交点的个数；（2）根据函数的零点个数求参数的取值或范围. 2. 导数研究函数的零点常用方法（1）研究函数的单调性、极值，利用单调性、极值、函数零点存在定理来求 解零点问题；（2）将函数零点问题转化为方程根的问题，从而同解变形为两个函数图象的交点，运用函数的 图象性质求解. 【尝试训练】 已知三次函数危）*cxd（a, b, KR）过点（3, 0）,且函数/U）在点（0, /（0））处的切线恰好是直线y 0. （1）求函数犬）的解析式； （2）设函数g（x）9x〃z1,若函数 必）一g（x）在区间［2, 1］上有两个零点，求实数m的取值范围. 3. 满分答题示范导数与函数 的 性质 【例题】（12分）（2017-浙江卷）已知函数J（x） （xy/2x_l）L. （1）求玲0的导函数； （2）求/（X）在区间8）上的取值范围. 【规范解答】 1函数rz的定义域为[，8,rm 2.l2 1 J X e -20lr - J2_z1 72x-l 2er 2由1知f a 0解得x 1,或工亍， 7’国 函数广工与/G随卫变化的情况如下 X x 2 T-1 1 勺 _5_ 2 n f 3 0 0 /r 1 _ e 2 0 1 _直 e 2 2 4 9团 712 乂 gm2。， 11回 z J2了 一］ 因此/ 3 在区间，一8上的取值范围是 ,。，捉*]. 12,⑥ 4. 高考状天满分心得 ❶得步骤分抓住得分点的步骤，“步步为赢”、求得满分.如第1问中求定义域，求导，第2问中求零点 和列表. ❷得关键分解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分如第2问中，对九xN0的判断. ❸得计算分解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第1问中求导准确变形到位；第2问中规范列表, 正确计算出处的最值. 【构建棋板】 晅逐求定义域 I 厘三方求导yf，飞注意变形 I fjj求丁 /的零点 I 晅列表呈现yffz与y/Cr的变化情况 I 判断yfx图象的趋势,求出函数最值 I 晅秀检验反思，规范步骤，明确结论 【规范训练】 2018全国I卷改编已知函数jxxa\n x. 1 试讨论函数7U的单调性； 2 设尤1，刀2是九工的两个极值点，且X2xi,设tfix\fX2 a2xixi,试证明r0. 1. 已知函数fx\nxax2x有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 2. 已知函数fx2xiax1bx3在尤1和x2处取得极值. ⑴求只工的表达式和极值； ⑵若/工在区间［m, m4］上是单调函数，试求m的取值范围. 3. 已知函数 .v.reA,其中e是自然对数的底数，KR. ⑴当a0时，解不等式NOVO; 2当” 0时，求整数，的所有值，使方程x2在［7, 71］上有解. 一X\ CL 4. 2019-合肥一中质检已知函数川丁. ⑴若九工在区间一00, 2上为单调递增函数，求实数的取值范围； 2若0, x0L设直线ygx为函数汽工的图象在尤入0处的切线，求证jxgx. 5. 已知函数 fxeaxaxl. ⑴讨论函数关i的单调性; 2设秫为整数，且对于任意正整