2021第2章第9节函数与方程
第九节函数与方程 [考点要求]结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断 一元二次方程根的存在性与根的个数. 夯实基础知识 课前自主回顾 (对应学生用书第38页) I:必备知识填充] 1. 函数的零点 (1) 函数零点的定义 对于函数);=»(%GD),把使/U) = 0的实数%叫做函数y=»(xED)的零 点. (2) 三个等价关系 方程» = 0有实数根。函数j=»的图象与x轴有交点。函数有零 点. (3) 函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=/U)在区间[a,0]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有匝奶 0)的图象与零点的关系 A>0 J=0 J0)的图象 * YA O^x=x2 x ■ 与X轴的交点 On, 0), ( 2,0) (xi, 0) 无交点 零点个数 2 1 0 [常用结论] 有关函数零点的3个结论 (1) 若连续不断的函数只X)在定义域上是单调函数,则7U)至多有一个零点. (2) 连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3) 连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. [学情自测验收:] 一、思考辨析(正确的打“,错误的打“ X”) (1) 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.() (2) 函数尸黄》)在区间(。,0)内有零点(函数图象连续不断),则»•»0, 的零点所在的区间为(2, 3).] 3. 函数f(x)=ex+3x的零点个数是. 1 [由已知得/(x)=er+3>0,所以只x)在R上单调递增,又只一1)=』一3 e 0,因此函数70)有且只有一个零点.] 一 I 4.函数/x)=%2—(2)x的零点个数为 1 [作函数yi =/和* =(;尸的图象如图所示. 由图象知函数穴工)有1个零点.] 一蚤蚣者一考点. 课堂考点探究 域寅考缨一一一 (对应学生用书第38页) 考点1函数零点所在区间的判定 ■通法判断函数零点所在区间的方法 (1) 解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程. (2) 零点存在性定理. (3) 数形结合法,画出相应函数图象,观察与x轴交点来判断,或转化为两 个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断. 2 曜典题1.函数»=lnx-^的零点所在的区间为() A.(0, 1)B, (1, 2) C.(2, 3)D. (3, 4) B [由题意知函数矣c)是增函数,因为只1) 0,所以函数只x)的零点所在的区间是(1, 2).故选B.] 2. 若 a0, 由函数零点存在性判定定理可知:在区间(q, b)(b, c)内分别存在一个零点; 又函数M)是二次函数,最多有两个零点, 因此函数顶*)的两个零点分别位于区间(s b), (b, c)内,故选A.] 3. 已知函数y(x)=lnx+2x—6的零点在[直,攵FJ(&UZ)内,那么*= 5 [V/ (x)=-+2>0, %e(0, +8), .•.只》)在 xG(o, +8)上单调递增, 且项=ln |—10, .\Ax)的零点在后,3)内,则整数^=5.] IS点评(1 )/(«)•»0, (2)函数»= n的零点个数为() 2x I 19 A.O B. 1 C. 2 D. 3 (3) 设函数_/(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,只x)=e*+x—3,则只x) 的零点个数为() A.l B. 2 C. 3 D. 4 (1)B (2)D (3)C [⑴由 fix) = 2sin %—sin 2x=2sin %—2sin x cos x= 2sin x • (1—cos x) = 0 得 sin x=0 或 cos x=l, .\x=kn, RGZ,又*.*%E [0, 2兀],/.x =0, 7i, 2兀,即零点有3个,故选B. ⑵依题意,在考虑x>0时可以画出函数y=lnx 与y=x2—2x的图象(如图),可知两个函数的图象有两个交点,当xWO时,函数 _/(%) = 2x+1与X轴只有一个交点,综上,函数有3个零 点.故选D.4,I (3)因为函数只x)是定义域