2021第2章第9节函数与方程

第九节函数与方程 ［考点要求］结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断 一元二次方程根的存在性与根的个数. 夯实基础知识 课前自主回顾 对应学生用书第38页 I必备知识填充］ 1. 函数的零点 1 函数零点的定义 对于函数；GD,把使/U 0的实数叫做函数yxED的零 点. 2 三个等价关系 方程 0有实数根。函数j的图象与x轴有交点。函数有零 点. 3 函数零点的判定零点存在性定理 如果函数y/U在区间［a,0］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有匝奶 0,那么，函数y在区间a, b内有零点,即存在cWa, b,使得脸0, 这个也就是方程0的根. 2. 二次函数yaxL bx ca0的图象与零点的关系 A0 J0 J0 二次函数yabx ca0的图象 * YA Oxx2 x ■ 与X轴的交点 On, 0, 2，0 xi, 0 无交点 零点个数 2 1 0 ［常用结论］ 有关函数零点的3个结论 1 若连续不断的函数只X在定义域上是单调函数，则7U至多有一个零点. 2 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 3 连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. ［学情自测验收］ 一、思考辨析正确的打“，错误的打“ X” 1 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. 2 函数尸黄在区间。，0内有零点函数图象连续不断，则 0. 3 若函数〃在a, 0上单调且贝IJ函数只x在［a,用上有且只有 一个零点. ⑷二次函数yabxc在。2cV0时没有零点. ［答案］1X 2X 3X 4 J 二、教材改编 1. 巳知函数y的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表 X 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 -74 24.5 -36.7 -123.6 则函数y在区间［1, 6］上的零点至少有 A.2个B. 3个 C.4个D. 5个 B ［.顶2.犬3V0,只3贞40,只4贞50,故函数人*在区间［1, 6］内至 少有3个零点.］ 2. 函数lnx2x-6的零点所在的区间是 A.0, 1B. 1, 2 C.2, 3D. 3, 4 C ［由题意得 Rl ln 1 2 640,汽 2 ln2 46 ln220,R3 ln3 66 ln30, 只4 ln 48-6 ln 420, 的零点所在的区间为2, 3.］ 3. 函数fxex3x的零点个数是. 1 ［由已知得/xer30,所以只x在R上单调递增，又只一1』一3 e 0,只010,因此函数70有且只有一个零点.］ 一 I 4.函数/x22x的零点个数为 1 [作函数yi /和* ；尸的图象如图所示. 由图象知函数穴工有1个零点.] 一蚤蚣者一考点. 课堂考点探究 域寅考缨一一一 对应学生用书第38页 考点1函数零点所在区间的判定 ■通法判断函数零点所在区间的方法 1 解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程. 2 零点存在性定理. 3 数形结合法，画出相应函数图象，观察与x轴交点来判断，或转化为两 个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断. 2 曜典题1.函数lnx-的零点所在的区间为 A.0, 1B, 1, 2 C.2, 3D. 3, 4 B [由题意知函数矣c是增函数，因为只10顼2 ln2一ln2ln \[e 0,所以函数只x的零点所在的区间是1, 2.故选B.] 2. 若 abc,则函ifix xaxb-\-xbxc-\-xcxa的两 个零点分别位于区间 A.o,力和Z, c内B. 一8, q和q,力内 C・b, C和C, 8内D・一8, Q和C, 8内 A abc, ・\/q qZqc0,问bcbaV。, fc c acb0, 由函数零点存在性判定定理可知在区间q, bb, c内分别存在一个零点; 又函数M是二次函数,最多有两个零点， 因此函数顶*的两个零点分别位于区间s b, b, c内，故选A.] 3. 已知函数yxlnx2x6的零点在［直，攵FJUZ内，那么* 5 ［V/ x-20, e0, 8, ..只在 xGo, 8上单调递增， 且项ln |10,汽3 ln30, .\Ax的零点在后，3内，则整数5.］ IS点评1 /0是连续函数y在闭区间［s用上有零点的充分不 必要条件. 2若函数汽工在”，0］上是单调函数，且/U的图象连续不断，则 o函数犬在区间［。，仞上只有一个零点. 考点2函数零点个数的判断 鼠通法函数零点个数讨论的基本解法 1 直接法，令0,在定义域范围内有多少个解则有多少个零点. 2 定理法，利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等. 3 图象法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图象的交点个 数得出函数的零点个数. 哪典例12019全国卷IID函数/x2sinx-sin2x在［0, 2兀］的零点个数为 A.2 B. 3 C. 4 D. 5 In x22x, x0, 2函数 n的零点个数为 2x I 19 A.O B. 1 C. 2 D. 3 3 设函数_/x是定义在R上的奇函数，当x0时，只xe*x3,则只x 的零点个数为 A.l B. 2 C. 3 D. 4 1B 2D 3C [⑴由 fix 2sin sin 2x2sin 2sin x cos x 2sin x 1cos x 0 得 sin x0 或 cos xl, .\xkn, RGZ,又*.*E [0, 2兀],/.x 0, 7i, 2兀，即零点有3个，故选B. ⑵依题意，在考虑x0时可以画出函数ylnx 与yx22x的图象如图，可知两个函数的图象有两个交点，当xWO时，函数 _/ 2x1与X轴只有一个交点，综上，函数有3个零 点.故选D.4，I 3因为函数只x是定义域