21提高对数教师版
对数及对数运算 【学习目标】 1. 理解对数的概念,能够进行指数式与对数式的互化; 2. 了解常用对数与自然对数的意义; 3. 能够熟练地运用对数的运算性质进行计算; 4. 了解换底公式及其推论,能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明. 5. 能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用. 【要点梳理】 要点一、对数概念 1. 对数的概念 如果ab =N(a>0,且aul),那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b,其中a叫做对数的底 数,N叫做真数. 要点诠释: 对数式logaN=b中各字母的取值范围是:a>0且砰1, N>0, beR. 2. 对数logaN(a>0,且a^l)具有下列性质: (1) 0和负数没有对数,即N>0; (2) 1的对数为0,即log. 1 = 0; (3) 底的对数等于1,即log.。= 1. 3. 两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数,logioN简记作IgN.以e (e是一个无理数,e = 2.7182…) 为底的对数叫做自然对数,\ogeN简记作InN. 4. 对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可 由下图表示. 指数式对数式 指数对数 真数 r ab=N I -1 logaN=b 1 底数 由此可见a, b, N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则 已知 log。M,loga N(a> 0且。丈 1, M、N > 0) (1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和; log“ (MN) = log。M + log. N 推广:lo良㈤叫•••叫)=1。寄叫+10良叫+叫、…、M>0) (2) 两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数; M 1。&为=奖“肱 Tog〃 “ (3) 正数的幕的对数等于幕的底数的对数乘以幕指数; logfl =a\ogaM 要点诠释: (1、)利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围,即等式左右两边的对数都存在时等式才能 成立.如:log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的,因为虽然 log2(-3)(-5)是存在的,但 log2(-3)与 log2(-5)是 不存在的. (2) 不能将和、差、积、商、幕的对数与对数的和、差、积、商、幕混淆起来,即下面的等式是错误 的: loga(M±N)=logaM±logaN, loga(M-N)=logaM4ogaN, M logfl M loga=. N log.N 要点三、对数公式 1. 对数恒等式: ah=N \^a^N =N log” N = b 2. 换底公式 同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0, a^l, M>0的前提下有: (1) loga M =\og anMn (we 7?) 令 1 ogaM=b,则有 ab=M, (ab)n=Mn, BP (an)b - Mn,即 b = log „ M“ , BP: logfl M = log „ M“. Jqq A/ (2) log aM ——-——(c〉0,c?l),令 logaM=b,则有 ab=M,则有 logc ab - logc M(c > 0,c 1) log。。 即 Z?-logc. a - logc. M ,即 b =典。,即廊〃 M =“鼠“(c〉0,c ♦ 1) log。a瞄。 当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以 得到一个重要的结论: log。b =——-—(。〉0, a ? 1,。〉0,力? 1). 岫a 【典型例题】 类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化: (l) log216 = 4; (2) log』27 =—3 ; (3)log 右 x = 3; (4)53 =125 : (5) 2-1 = ^- ; (6)Q^j =9. 【解析】运用对数的定义进行互化. (1) 20) 【答案】N 【解析】将幕指数中的乘积关系转化为幕的幕,再进行运算. ^logaMogfcclogc7V = [(alogab)logbcJ°gcN _ ^loSbc^logcN = ^JogcN _ 类型三、积、商、幕的对数 例3,用log a X, log“,