21提高对数教师版

对数及对数运算 【学习目标】 1. 理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化； 2. 了解常用对数与自然对数的意义； 3. 能够熟练地运用对数的运算性质进行计算； 4. 了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明. 5. 能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用. 【要点梳理】 要点一、对数概念 1. 对数的概念 如果ab Na0,且aul,那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaNb,其中a叫做对数的底 数，N叫做真数. 要点诠释 对数式logaNb中各字母的取值范围是a0且砰1, N0, beR. 2. 对数logaNa0,且al具有下列性质 1 0和负数没有对数，即N0； 2 1的对数为0,即log. 1 0； 3 底的对数等于1,即log.。 1. 3. 两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，logioN简记作IgN.以e e是一个无理数，e 2.7182 为底的对数叫做自然对数，\ogeN简记作InN. 4. 对数式与指数式的关系 由定义可知对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可 由下图表示. 指数式对数式 指数对数 真数 r abN I -1 logaNb 1 底数 由此可见a, b, N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则 已知 log。M,loga Na 0且。丈 1, M、N 0 1 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； log“ MN log。M log. N 推广lo良㈤叫叫1。寄叫10良叫叫、、M0 2 两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； M 1。为奖肱 Tog〃 3 正数的幕的对数等于幕的底数的对数乘以幕指数； logfl a\ogaM 要点诠释 1、利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能 成立.如log2-3-5log2-3log2-5是不成立的，因为虽然 log2-3-5是存在的，但 log2-3与 log2-5是 不存在的. 2 不能将和、差、积、商、幕的对数与对数的和、差、积、商、幕混淆起来，即下面的等式是错误 的 logaMNlogaMlogaN, logaM-NlogaM4ogaN, M logfl M loga. N log.N 要点三、对数公式 1. 对数恒等式 ahN \aN N log” N b 2. 换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0, al, M0的前提下有 1 loga M \og anMn we 7 令 1 ogaMb,则有 abM, abnMn, BP anb - Mn,即 b log „ M , BP logfl M log „ M. Jqq A/ 2 log aM -c〉0,cl,令 logaMb,则有 abM,则有 logc ab - logc Mc 0,c 1 log。。 即 Z-logc. a - logc. M ,即 b 典。,即廊〃 M 鼠c〉0,c ♦ 1 log。a瞄。 当然，细心一些的同学会发现1可由2推出，但在解决某些问题1又有它的灵活性.而且由2还可以 得到一个重要的结论 log。b -。〉0, a 1,。〉0,力 1. 岫a 【典型例题】 类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化 l log216 4； 2 log』27 3 ； 3log 右 x 3； 453 125 5 2-1 - ； 6Qj 9. 【解析】运用对数的定义进行互化. 1 2 16 ； 2］；］ 27 30 x； 4log5125 3； 5log2; 6lgi 9 -2 . 【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决 问题的重要手段. 举一反三 【变式1］求下列各式中x的值 1 , llog16x --⑵ log,8 63lgl000x4-21ne- x 【答案】1 ； 2 y/2 ； 3 3； 4 -4. 4 【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幕的运算性质求出X. _1_12.-上1 1 x 16 2 42 2 4 2 『_； 4 l_ ］__ 2 x6 8,所以x 6 8伊23沪； 3 10 x1000103,于是 x3； X 4 由21ne2 x,得Ine2,即e 2 e2 所以x -4 . 2 【变式2】计算log24;log2 8;log232并比较. 【答案】2 3 5 【解析】log24 log2 22 - 2; log2 8 log2 23 3; log, 32 log2 2 log”Tog” 亍y log. Vz 21oga x ；log. y log. z . yjz23 【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们 必须准确地把握它们.在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、蓦的对数 运算对应着对数的和、差、积得运算. 举一反三 【变式1】求值 1 2 log 5 25 3 log 2 64 8 log 1012lg2-lg50lg523lg25lg24g50lg22 【答案】1 22； 2 1； 3 2. 5 . 类型二、利用对数恒等式化简求值 例 2.求值7110g75 【答案】35 【舟牟析】71log75 7-7log75 7x5 35. 【总结升华】对数恒等式Z n中要注意格式①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其 值为真数. 举一反三 【变式1】求。疑2晦海』的值⑶b, ceR,且不等于1, N0 【答案】N 【解析】将幕指数中的乘积关系转化为幕的幕，再进行运算. logaMogfcclogc7V [alogablogbcJgcN _ loSbclogcN JogcN _ 类型三、积、商、幕的对数 例3,用log a X, log,