223向量数乘运算及其几何意义学案人教A版必修4
2.2.3向量数乘运算及其几何意义 学习目标 1. 掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律,会利用实数与向量 的积的运算律进行有关的计算; 2. 理解两个向量平行的充要条件,能根据条件判断两个向量是否平行; 3. 通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了 解事物运动变化的辩证思想。 重点、难点 重点:实数与向量的积的定义、运算律,向量平行的充要条件; 难点:理解实数与向量的积的定义,向量平行的充要条件。 自主学习 ⑥知识梳理 1. 向量的数乘 ⑴定义:一般地,我们规定实数人与向量。的积是一个,这种运算叫做向量 的数乘,记作扃. (2) 规定:I切=1刀lai.当4>0时,痴的方向与a的方向;当人<0时,Aa的方向与 a的方向相反;当4=0时,Aa=. (3) 几何意义:丘可以看作是把向量a沿着。的方向(人>0时域。的反方向(女。时)扩大 或缩小121倍得到. 2. 向量数乘的运算律 向量的数乘运算满足下列运算律:设人,〃为实数,则 (1) (2+/z)a=; (2)z(//a) = ()a; (3)2(a+Z»)=(分配律). 特别地,我们有(-z)a=-(^)=2(-«), X(a~b)=. 3. 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a,》以及任意实数人 同、“2,恒有 4(«ia±〃2》)=. 4. 共线向量定理 ⑴向量«(a#0)与方共线,当且仅当有唯一一个实数刀使得. (2) 如果向量a与I不共线,且)M=pb,那么2=〃=0. ®自主探究 已知平面内 O, A, B, C 四点,若OC=xOA+yOB, (x, v£R). ⑴若x+y=l,求证/、B、。二点共线; (2)若/、B、C二点共线,则实数x, y应满足怎样的条件? 知识点一 \向量的线性运算 对点讲练 【例1】计算: (1) 6(3a-2Z»)+9(-2a+Z»); (3) 6(a—Z>+c)—4 (a—25+c)—2(—2a+c). 回顾归纳 向量的线性运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”、“提取 公因式”,但这里的“同类项”、“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. 变式训练1计算: (])3((2)§ (3a+2b)—(a +矽) (3)2(5〃—4b+c)—3(a—3b+c)—7a. 知识点二 共线向量定理的应用 【例2】判断下列各组向量是否共线(其中吓功为不共线向量). (l)tz1 —方=3。1—2^2» (2)。=。]+牝,b = 3e)—3e» 回顾归纳 判断两个非零向量a,力是否共线,关键是看能否找到一个实数人,使方=口, 若这样的实数人不存在,则两向量必不共线,常转化为判断方程(组)是否有解. 变式训练2两个非零向量a、》不共线. ⑴若 AB =a+b, BC=2a+8b, CD=3(a~b),求证:A, B、。三点共线; ⑵求实数k使ka+b与2a+kb共线. 知识点我 共线向量在平面几何中的应用 【例31 如图所示,在ZU3C中,点。是3。的中点,过点。的直线分别交直线48、于不 同的两点 Af、N, ^AB=mAM, AC=nAN,则 m + n 的值为. 回顾归纳 向量是研究平面几何问题的重要工具之一,具体运用向量时要注意准确理解 向量反映的几何性质. 变式训练3已知四边形ABCD是菱形,点尸在对角线/C上(不包括端点,、。,贝脂》 B. a(AB+AD), 0, 等于() A. a(AB+BC), ze(O,l) C. X(AB~AD), Ae(o,l) D. X(AB~BC), 2 1. 实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加流运算,例如2 + a, A~a是没有意义 的. 2. 扃的几何意义就是把向量。沿着。的方向或反方向扩大或缩小为原来的I刀倍.向量音 表示与向量a同向的单位向量. 3. 共线向量定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问 题. 课时作业 一、选择题 1. 已知平行四边形ABCD中,瓦=ci, DC=b,其对角线交点为0,则岳等于( ) A.^a+bB.C.;(g+Z>)D. a+b 2. 设e_z,是两个不共线的向量,若向量0 =—幻+此2(*仁的与向量”=。2—2幻共线, 则() A. k—QB. k=lC. k—2D. 3. 已知向量a, b,且屈=〃+2方,BC=~5a+6b, CD=7a~2b,则一定共线的三点 是() A. B、C、D B. A. B、CC. A. B、D D. A, C、D 4. 在AABC中,点。在线段CB的延长线上,且CD=4BD=rAB+sAC,则 f 等于() 48 A. 0BgC.^D. 3 5. 已知ZUBC的三个顶点B, C及平面内一点F,且两+屈+龙=疝,则( ) A. F在ZUBC内部B. F在AABC外部 C. F在边上或其延长线上D. F在/。边上 题号 12345 答案 二、填空题 6. 若2&—3,)+》=。,其中«> b、c为已知向量,则未知向量j = 7. 如图所示,在U4BCD中,崩=a, AD=b, AN=3NC, M为BC的中点,则疝V= .(用a, b表示) 8. 如图所示,。是△48。的边48上的中点,则向量迎=.(填写正确的序号) ®~BC+^RA ®-BC~^BA ®BC~^BA @BC+^BA 三、解答题 9. 化简:8(2«—》+c)—6Q—2方+c)—2(2a+c). 10. DC 7X7 A M B 如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是M3的中点,点N在BD上,且BN=、BD. 求证:M、N、C三点共线. 2.2.3向量数乘运算及其几何意义 知识梳理 1. (1)向量(2)相同 02.⑴加+四(2)仙(3)如+拍 3. ”1〃土切2方4. (1)方=如 自主探究 证明(1)若 x + j,=l,则 OC = xOA + (l -x)OB = x(OA~OB) + OB, ■■.OC-OB = xRA, :.BC = xRA.与弱有公共点 3, -.A. B、。三点共线. (2) 若/、B、C三点共线.•存在实数人使花=溢成立-.OC-04 =2((95-04). ■■■OC = OA+ a(OB - (^) = (1 - X)OA + XOB. 4 1 - A = x, 2 = v, .-.x +v= 1. .•.若OC = xOA+yOB, 4、B、C三点共线时,x, y应满足条件x+y=l. 对点讲练 【例 11 解⑴原式=18a- 12b - 18a + 9b= - 3b. 2 (2)原式=我-孑+ =0. (3) 原式=6〃 - 6Z> + 6c - % + 88 - 4c + 4« - 2c = (& - 4a + 4a) + (Sb - 6