223向量数乘运算及其几何意义学案人教A版必修4

2.2.3向量数乘运算及其几何意义 学习目标 1. 掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量 的积的运算律进行有关的计算； 2. 理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 3. 通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了 解事物运动变化的辩证思想。 重点、难点 重点实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。 自主学习 ⑥知识梳理 1. 向量的数乘 ⑴定义一般地，我们规定实数人与向量。的积是一个,这种运算叫做向量 的数乘，记作扃. 2 规定I切1刀lai.当4＞0时，痴的方向与a的方向；当人＜0时，Aa的方向与 a的方向相反；当40时，Aa. 3 几何意义丘可以看作是把向量a沿着。的方向人＞0时域。的反方向女。时扩大 或缩小121倍得到. 2. 向量数乘的运算律 向量的数乘运算满足下列运算律设人，〃为实数，则 1 2/za； 2z//a a； 32aZ分配律. 特别地，我们有-za-2-, Xab. 3. 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a,以及任意实数人 同、“2，恒有 4ia〃2. 4. 共线向量定理 ⑴向量a0与方共线，当且仅当有唯一一个实数刀使得. 2 如果向量a与I不共线,且Mpb,那么2〃0. 自主探究 已知平面内 O, A, B, C 四点，若OCxOAyOB, x, vR. ⑴若xyl,求证/、B、。二点共线； 2若/、B、C二点共线，则实数x, y应满足怎样的条件 知识点一 \向量的线性运算 对点讲练 【例1】计算 1 63a-2Z9-2aZ； 3 6aZc4 a25c22ac. 回顾归纳 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取 公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数. 变式训练1计算 ]3b9a 板;2 3a2ba 矽 325〃4bc3a3bc7a. 知识点二 共线向量定理的应用 【例2】判断下列各组向量是否共线其中吓功为不共线向量. ltz1 方3。122 2。。]牝，b 3e3e 回顾归纳 判断两个非零向量a,力是否共线，关键是看能否找到一个实数人，使方口, 若这样的实数人不存在，则两向量必不共线，常转化为判断方程组是否有解. 变式训练2两个非零向量a、不共线. ⑴若 ABab, BC2a8b, CD3ab,求证A, B、。三点共线; ⑵求实数k使kab与2akb共线. 知识点我 共线向量在平面几何中的应用 【例31 如图所示，在ZU3C中，点。是3。的中点，过点。的直线分别交直线48、于不 同的两点 Af、N, ABmAM, ACnAN,则 m n 的值为. 回顾归纳 向量是研究平面几何问题的重要工具之一，具体运用向量时要注意准确理解 向量反映的几何性质. 变式训练3已知四边形ABCD是菱形，点尸在对角线/C上（不包括端点,、。，贝脂 B. aABAD, 0, 等于 A. aABBC, zeO,l C. XABAD, Aeo,l D. XABBC, 2 1. 实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加流运算，例如2 a, Aa是没有意义 的. 2. 扃的几何意义就是把向量。沿着。的方向或反方向扩大或缩小为原来的I刀倍.向量音 表示与向量a同向的单位向量. 3. 共线向量定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问 题. 课时作业 一、选择题 1. 已知平行四边形ABCD中，瓦ci, DCb,其对角线交点为0,则岳等于（ ） A.abB.C.；（gZ＞）D. ab 2. 设e_z，是两个不共线的向量，若向量0 幻此2（*仁的与向量”。22幻共线， 则（） A. kQB. klC. k2D. 3. 已知向量a, b,且屈〃2方，BC5a6b, CD7a2b,则一定共线的三点 是（） A. B、C、D B. A. B、CC. A. B、D D. A, C、D 4. 在AABC中，点。在线段CB的延长线上，且CD4BDrABsAC,则 f 等于（） 48 A. 0BgC.D. 3 5. 已知ZUBC的三个顶点B, C及平面内一点F,且两屈龙疝，则（ ） A. F在ZUBC内部B. F在AABC外部 C. F在边上或其延长线上D. F在/。边上 题号 12345 答案 二、填空题 6. 若23，）。，其中 b、c为已知向量，则未知向量j 7. 如图所示，在U4BCD中，崩a, ADb, AN3NC, M为BC的中点，则疝V .（用a, b表示） 8. 如图所示，。是△48。的边48上的中点，则向量迎.（填写正确的序号） BCRA -BCBA BCBA BCBA 三、解答题 9. 化简8（2c）6Q2方c）2（2ac）. 10. DC 7X7 A M B 如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是M3的中点，点N在BD上,且BN、BD. 求证M、N、C三点共线. 2.2.3向量数乘运算及其几何意义 知识梳理 1. 1向量2相同 02.⑴加四2仙3如拍 3. ”1〃土切2方4. 1方如 自主探究 证明1若 x j，l,则 OC xOA l -xOB xOAOB OB, ■■.OC-OB xRA, .BC xRA.与弱有公共点 3, -.A. B、。三点共线. 2 若/、B、C三点共线...存在实数人使花溢成立..-.OC-04 295-04. ■■■OC OA aOB - 1 - XOA XOB. 4 1 - A x, 2 v, .-.x v 1. ..若OC xOAyOB, 4、B、C三点共线时，x, y应满足条件xyl. 对点讲练 【例 11 解⑴原式18a- 12b - 18a 9b - 3b. 2 2原式我-孑 0. 3 原式6〃 - 6Z 6c - ％ 88 - 4c 4 - 2c - 4a 4a Sb - 6