2021第4章第5节第1课时两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式
第五节三角恒等变换 [考点要求]1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的 余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角 和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在 联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、 半角公式,但不要求记忆). 夸疫基破勿识 课前自主回顾 槌竺基直点 (对应学生用书第77页) [必备知识填充:] 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (l) sin (a土仿=sin acos 8 土 cos asic £; (2) cos (q±8) = cos qcos 庆1sin asin 乃; (3)tan (。±万)= tan a 土 tan . 2sin qcos l cos2ot — sin2ot 1 — tan2a Sin a sin2a+cos2a l+tan2a, cos2a cos?。+ sin2« 1 + tai?。* 2. 降幕公式 9 Pz£os2a sin2«=; 0 l+cos2a COS Q; £ 1.c sin qcos a=]sin 2a. 3. 升幕公式 11eg 1+cos ot=2cos 2; 1。•巫 1—cos a = 2sm 2; 1+sin a= (.a q)2 1 —sin«=l sin 2—cos 2 I 4. 半角正切公式 a sin a 1—cos a tan ==t_|=-. 2 1+cos a sm a [学情自测验收] 一 思考辨析(正确的打““”,错误的打“ X ”) (1) 存在实数 a, &,使等式 sin (a+“) = sin a+sin“成立.() (2) 公式a sinx+力 cos x=yja1+b2sin (x+弦)中9的取值与a, b的值无 关.() (3) cos ^=2cos2^—1 = 1 —2sin2^.() (4) 当a是第一象限角时,sin号=\^1) [答案](1) V (2)X (3) V (4)X 二、教材改编 1.已知cos «=—|- a是第三象限角,则cos饵+)为() A炬B -也 A.]。D. IQ J 10 D. 7^/2 10 A [ Vcos a= — q是第三象限角, sin a= —cos2ot= .[也/.、宓 3 4 ・.cosl +a I = (cos Q—sin§十厅 故选 A.] 2. sin 347° cos 148° + sin 77° cos 58° = [sin 347° cos 148° +sin 77° cos 58° = sin (270° +77° )cos (90° +58° ) + sin 77° cos 58° =(—cos 77° )■( —sin 58° ) + sin 77° cos 58° = sin 58° cos 77° +cos 58° sin 77° —sin (58i 77 ) — sin 135 — 2, 3. 计算:sin 108° cos 42° —cos 72° • sin 42° = | [原式=sin (180° -72° )cos 42° -cos 72° sin 42° = sin 72° cos 42° 一cos 72° sin 42° = sin (72° -42° ) = sin 30° =|.] 4. tan 20° +tan 40° +^/3tan 20° tan 40° = [V tan 60° =tan (20° +40。 tan 20° +tan40° )1-tan 20° tan 40° /.tan 20° +tan 40° =tan 60° (1—tan 20° tan 40° ) =^3—V3tan 20° tan 40° , 原式=寸一0tan2O° tan 40° + 寸tan 20° tan 40° =$.] 若 tanQ=§, tan(a+Q)=§,贝0 tan. 1_1 1tan (q+月)—tan a 2 31 7 [tan^=tan [(«+/?)-«] = 1+tan tan«=rZIZl=7-] 1+2X3 第1课时两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式 总一埴宣理点一 课堂考点探究 (对应学生用书第78页) 考点1公式的直接应用 保通法(1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值. 曜典题 1.(2019-全国卷II)已知 aG(0,壹),2sin 2a=cos 2ct+l,则 sin a= A-5 D•乎 B [由二倍角公式可知4sin qcos a = 2cos2ot. 71 V«e(0, 2)9「.cosgO, /.2sin a=cos a, /.tan。=§, sin a=考-.故选 B.] 2.已矢口 sinQ=m,7i), tan (兀一万)=§,则tan (a一万)的值为( 2 A.—五 2 B- n C.y A [•.•&£(* 兀),/.tan a=~ 3 4 又 tan p= 一§, tan a—tan & •.•tan(a—“)= 1+品血还 3,1 ~4+2_ 2 i3-=―五」 1+ (—9 X (—j) 7171171 3. (2019-太原模拟)若 otG(0, 2)> 且 sin (a—g)=a,则 cos 0—§)= 2无*][由于角a为锐角,且sin (a~7)= O03 m ]/ 兀、2皿 则 cos(Q—6)=~^―, .717171 贝COS(Q—§) = COS [(Q—g)—g] ,7171. /兀、.兀 =cos (q—g)cos g十 sin (q—s)sin g 4. sin 110° sin 20° cos2 ^cos2155° —sin2155° cos 310° cos 20° sin 20°万sm40°】 = cos 50°=