概率统计第3章答案
第三章 作业一 1. 将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表: X Y 0 1 2 3 1 0 0 3 0 0 2. 盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到白球的只数,求X,Y的联合分布律。 X Y 0 1 2 3 0 0 0 1 0 2 0 解:(X,Y)的可能取值为(i, j),i=0,1,2,3, j=0,12,i + j≥2,联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= P {X=1, Y=1 }= P {X=1, Y=2 }= P {X=2, Y=0 }= P {X=2, Y=1 }= P {X=2, Y=2 }= P {X=3, Y=0 }= P {X=3, Y=1 }= P {X=3, Y=2 }=0 3. 设随机变量(X,Y)的分布密度 f(x,y)= 求:(1) 常数A; (2) 随机变量(X,Y)的分布函数; (3) P{0≤X<1,0≤Y<2}. 【解】(1) 由 得 A=12 (2) 由定义,有 (3) 4. 设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的密度函数为 fY(y)= 求:(1) X与Y的联合分布密度;(2) P{Y≤X}. 题6图 【解】(1) 因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为 而 所以 (2) 第三章 作业二 1. 袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y. (1) 求X与Y的联合概率分布; (2) X与Y是否相互独立? 【解】(1) X与Y的联合分布律如下表 Y X 3 4 5 1 2 0 3 0 0 (2) 因 故X与Y不独立 2. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= (1) 试确定常数c; (2) 求边缘概率密度. 【解】(1) 得. (2) 3. 设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为 fY(y)= (1)求X和Y的联合概率密度; (2) 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率. 【解】(1) 因 故 题14图 (2) 方程有实根的条件是 故 X2≥Y, 从而方程有实根的概率为: 4. 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= 求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y). 题11图 【解】 所以 第三章 作业三 1. 设随机变量(X,Y)的分布律为 X Y 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0}; (2) 求V=max(X,Y)的分布律; (3) 求U=min(X,Y)的分布律; (4) 求W=X+Y的分布律. 【解】(1) (2) 所以V的分布律为 V=max(X,Y) 0 1 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 (3) 于是 U=min(X,Y) 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 (4)类似上述过程,有 W=X+Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 2. 设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n,p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n,p的二项分布. 【证明】方法一:X+Y可能取值为0,1,2,…,2n. 方法二:设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…,μn′均服从两点分布(参数为p),则 X=μ1+μ2+…+μn,Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′, 所以,X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布. 3. 雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点(X,Y)在屏幕上服从均匀分布. (1) 求P{Y>0|Y>X}; (2) 设M=max{X,Y},求P{M>0}. 题20图 【解】因(X,Y)的联合概率密度为 (1) (2) 4. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4 只,求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4),则Xi~N(160,202), 从而