4.2直线、射线、线段(提高)知识讲解
直线、射线、线段(提高)学问讲解 撰稿:孙景艳 审稿:赵炜 【学习目标】 1.理解直线、射线、线段的概念,驾驭它们的区分和联系; 2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题; 3.利用线段的和差倍分解决相关计算问题. 【要点梳理】 要点一、直线 1.概念:直线是最简洁、最基本的几何图形之一,是一个不作定义的原始概念,直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述. 2. 表示方法:(1)可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示,如图1所示,可表示为直线AB(或直线BA). (2)也可以用一个小写英文字母表示,如图2所示,可以表示为直线. 3.基本性质:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.简洁说成:两点确定一条直线. 要点诠释: 直线的特征:(1)直线没有长短,向两方无限延长. (2)直线没有粗细. (3)两点确定一条直线. (4)两条直线相交有唯一一个交点. 4.点与直线的位置关系: (1)点在直线上,如图3所示,点A在直线m上,也可以说:直线m经过点A. (2)点在直线外,如图4,点B在直线n外,也可以说:直线n不经过点B. 要点二、线段 1.概念:直线上两点和它们之间的部分叫做线段. 2.表示方法: (1)线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示,如图所示,记作:线段AB或线段BA. (2)线段也可用一个小写英文字母来表示,如图5所示,记作:线段a. 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法: 法一:用圆规作一条线段等于已知线段.例如:下图所示,用圆规在射线AC上截取AB=a. 法二:用刻度尺作一条线段等于已知线段.例如:可以先量出线段a的长度,再画一条等于这个长度的线段. 4.基本性质:两点的全部连线中,线段最短.简记为:两点之间,线段最短. 如图6所示,在A,B两点所连的线中,线段AB的长度是最短的. 图6 要点诠释: (1)线段是直的,它有两个端点,它的长度是有限的,可以度量,可以比较长短. (2)连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离. (3)线段的比较: ①度量法:用刻度尺量出两条线段的长度,再比较长短. ②叠合法:利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上,使其中一个端点重合,另一个端点位于重合端点同侧,依据另一端点与重合端点的远近来比较长短. 5.线段的中点:把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.如图7所示,点C是线段AB的中点,则,或AB=2AC=2BC. 图7 要点诠释: 若点C是线段AB的中点,则点C肯定在线段AB上. 要点三、射线 1.概念:直线上一点和它一侧的部分叫射线,这个点叫射线的端点. 如图8所示,直线l上点O和它一旁的部分是一条射线,点O是端点. 图8 2.特征:是直的,有一个端点,不行以度量,不行以比较长短,无限长. 3.表示方法:(1)可以用两个大写英文字母表示,其中一个是射线的端点,另一个是射线上除端点外的随意一点,端点写在前面,如图8所示,可记为射线OA. (2)也可以用一个小写英文字母表示,如图8所示,射线OA可记为射线l. 要点诠释: (1)端点相同,而延长方向不同,表示不同的射线.如图9中射线OA,射线OB是不同的射线. 图9 (2)端点相同且延长方向也相同的射线,表示同一条射线.如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线. 图10 要点四、直线、射线、线段的区分与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 (1)射线和线段都是直线上的一部分,即整体与部分的关系.在直线上任取一点,则可将直线分成两条射线;在直线上取两点,则可将直线分为一条线段和四条射线. (2)将射线反向延长就可得到直线;将线段一方延长就得到射线;将线段向两方延长就得到直线. 2.三者的区分如下表 要点诠释: (1) 联系与区分可表示如下: (2)在表示直线、射线与线段时,勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样. 【典型例题】 类型一、有关概念 1.如图所示,指出图中的直线、射线和线段. 【思路点拨】从图上看,A、D、F分别是线段CB、BC、BE的延长线上的点,也就是说,A、D、F三点的位置并不是完全确定的.此时,我们也就能分清晰图中的直线、射线和线段了. 【答案与解析】 解:直线有一条:直线AD; 射线有六条:射线BA、射线BD、射线CA、射线CD、射线BF、射线EF; 线段有三条:线段BC、线段BE、线段CE. 【总结升华】在表示线段和直线时,两个大写字母的依次可以颠倒.然而,在叙述线段的延长线的时候,表示线段的两个大写字母的依次就不能颠倒了,因为线段向一方延长后就形成了射线(延长部分已不再是线段本身了),而表示射线的两个大写字母的依次是不能颠倒的,只能用第一个字母表示射线的端点,其次个字母表示射线方向上的任一点. 举一反三: 【高清课堂:直线、射线、线段397363 拓展4】 【变式】两条不同的直线,要么有一个公共点,要么没有公共点,不能有两个公共点. 这是为什么?画图说明. 【答案】 解: ∵过两点有且只有一条直线.(或两点确定一条直线.) ∴两条不同的直线,要么有一个公共点,如图(1);要么没有公共点,如图(2);不能有两个公共点. 类型二、有关作图 2.如图(1)所示,已知线段a,b(a>b),画一条线段,使它等于2a-2b. 【答案与解析】 解:如图(2)所示: (1)作射线AF; (2)在射线AF上顺次截取AB=BC=a; (3)在线段AC上顺次截取AD=DE=b,则线段EC就是所要求作的线段. 【总结升华】用尺规作图时,要熟识常用的画图语言,留意保留作图痕迹. 举一反三: 【变式1】下列说法正确的有 ( ) ①射线与其反向延长线成一条直线; ②直线a、b相交于点m; ③两直线相交于两个交点; ④直线A与直线B相交于点M A.3个 B.2个 C.1个 D.4个 【答案】 C 【变式2】下列说法中,正确的个数有( ) ①已知线段a,b且a-b=c,则c的值不是正的就是负的; ②已知平面内的随意三点A,B,C则AB+BC≥AC; ③延长AB到C,使BC=AB,则AC=2AB; ④直线上的顺次三点D、E、F,则DE+EF=DF. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 类型三、个(条)数或长度的计算 3. 依据题意,完成下列填空. 如图所示,与是同一平面内的两条相交直线,它们有1个交点,假如在这个平面内,再画第3条直线,那么这3条直线最多有________个交点;假如在这个平面内再画第4条直线,那么这4条直线最多可有________个交点.由此我们可以猜想:在同一平面内,6条直线最多可有________个交点,n(n为大于1的整数)条直线