4.1.2圆的一般方程
河北武邑中学课堂教学设计 备课人 授课时间 课题 圆的一般方程 课标要求 教 学 目 标 学问目标 由圆的一般方程确定圆的圆心半径.驾驭方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件. 技能目标 能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程. 情感看法价值观 渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法 重点 一般方程与标准方程间的互化,依据已知条件确定方程中的系数,D、E、F. 难点 对圆的一般方程的相识、驾驭和运用 教 学 过 程 及 方 法 教学内容 教学环节与活动设计 课题引入: 问题:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题明显有些麻烦,得用直线的学问解决又有其简洁的局限性,那么这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同探讨圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。 探究探讨: 请同学们写出圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径r. 把圆的标准方程绽开,并整理: x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 取得 ① 这个方程是圆的方程. 反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程,它表示的曲线肯定是圆吗? 把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得 教 学 过 程 及 方 法 教学内容 教学环节与活动设计 ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆? (1)当D2+E2-4F>0时,方程②表示(1)当时,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆; (2)当时,方程只有实数解,,即只表示一个点(-,-); (3)当时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形 综上所述,方程表示的曲线不肯定是圆 只有当时,它表示的曲线才是圆,我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程 我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x2和y2的系数相同,不等于0. ②没有xy这样的二次项. (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特别的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 学问应用与解题探讨: 例1:推断下列二元二次方程是否表示圆的方程?假如是,恳求出圆的圆心及半径。 教 学 过 程 及 方 法 教学内容 教学环节与活动设计 分析:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的推断方法求解。但是,要留意对于 来说,这里的 . 例2:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析:据已知条件,很难干脆写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程 解:设所求的圆的方程为: ∵在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于的三元一次方程组, 即 解此方程组,可得: ∴所求圆的方程为: ; 得圆心坐标为(4,-3). 或将左边配方化为圆的标准方程,,从而求出圆的半径,圆心坐标为(4,-3) 学生探讨沟通,归纳得出访用待定系数法的一般步骤: ① 依据提议,选择标准方程或一般方程; ② 依据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组; ③ 解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程。 教 学 过 程 及 方 法 教学内容 教学环节与活动设计 例3、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。 分析:如图点A运动引起点M运动,而点A在已知圆上运动,点A的坐标满意方程。建立点M与点A坐标之间的关系,就可以建立点M的坐标满意的条件,求出点M的轨迹方程。 解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是 ① 上运动,所以点A的坐标满意方程,即 ② 把①代入②,得 教 学 小 结 课后 反思