4.1比例线段(3)
4.1 比例线段(3) 黄金比为≈0.618,黄金分割是分一条线段,黄金比是一个比值,留意它们的区分和联系. 1.已知线段a=4,b=16,线段c是a,b的比例中项,那么c等于(B). A.10 B.8 C.-8 D.±8 2.已知C是线段AB上的一个点,且满意AC2=BC·AB,则下列式子成立的是(B). 3.美是一种感觉,当人体的下半身长与身高的比值接近0.618时会给人一种美感.已知某女士身高160cm,下半身长与身高的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度约为(D). A.6cm B.10cm C.4cm D.8cm 4.已知P,Q是线段AB的两个黄金分割点,且AB=10cm,则PQ长为(C). A.5(-1) B.5(+1) C.10(-2) D.5(3-) 5.如图所示,P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,假如S1表示以PA为一边的正方形的面积,S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积,那么S1与S2之间的大小关系是(A). A.S1=S2 B.S1>S2 C.S1<S2 D.不能确定 (第5题)(第7题) 6.已知线段a=9,c=4,假如线段b是a,c的比例中项,那么b= 6 . 7.为了弘扬雷锋精神,某中学打算在校内内建立一座高2m的雷锋人体雕像,向全体师生征集设计方案.方小琦同学查阅了有关资料,了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图所示为小琦同学依据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案,其中雷锋人体雕像下部的高度应设计为 1.24 m(精确到0.01m,参考数据≈1.414,≈1.732,≈2.236). 8.已知C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,BC=3-,则AB的长为 2 . 9.已知C,D是线段AB的黄金分割点,AB=10,求线段AC与CD的长. (第9题) 【答案】∵C,D是线段AB的黄金分割点,∴AC=AB=5-5,BD=AB=5-5.∴AD=AB-BD=15-5.∴CD=AC-AD=5-5-(15-5)=105-20. (第10题) 10.如图1所示为一张宽与长之比为的矩形纸片,我们称这样的矩形为黄金矩形.按图2所示的折叠方法进行折叠,折叠后再绽开,可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC,那么矩形EFDC还是黄金矩形吗?若是,请证明你的结论;若不是,请说明理由. 【答案】矩形EFDC是黄金矩形.理由如下:∵四边形ABEF是正方形,∴AB=DC=AF.∵=,∴=,即F是线段AD的黄金分割点.∴==.∴=.∴矩形EFDC是黄金矩形. 11.乐器上的一根琴弦AB=60cm,两个端点A,B固定在乐器板面上,支撑点C是AB的黄金分割点(AC>BC),则AC的长为(C). A.(90-30)cm B.(30+30)cm C.(30-30)cm D.(30-60)cm 12.如图所示,P为线段AB的黄金分割点(PB>PA),四边形AMNB、四边形PBFE都为正方形,且面积分别为S1,S2.四边形APHM、四边形APEQ都为矩形,且面积分别为S3,S4.下列说法中,正确的是(B). A.S2=S1 B.S2=S3 C.S3=S4 D.S4=S1 (第12题) (第14题) 13.已知线段AB及AB上一点P,P为AB的黄金分割点.给出下列结论:①AP2=AB·PB;②AP=AB;③PB=AB;④=;⑤=.其中正确的是(A). A.①②③ B.①②③ C.②③④⑤ D.①②③④⑤ 14.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.如图所示,五边形ABCDE的5条边相等,5个内角相等,则图中的黄金三角形有 20 个. 15.(1)我们知道,将一条线段AB分割成大小两条线段AP,PB,使AP>PB,点P把线段AB分成两条线段AP和BP,且=,点P就是线段AB的黄金分割点,此时的值为 . (2)如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,现以点C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于点D,再以点A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于点E.求证:E是线段AB的黄金分割点. (第15题) 【答案】(1) (2)设BC=a,则AB=2a,∴AC=a.由题意得CD=BC=a,∴AE=AD=a-a,BE=AB-AE=3a-a. ∴=,=.∴=,即E是线段AB的黄金分割点. (第16题) 16.如图所示,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BOC=108°,过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D,E,连结OE,DE=12AB,OD=2. (1)求∠CDB的度数. (2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比. ①写出图中全部的黄金三角形,选一个说明理由. ②求弦CE的长. ③在直线AB或CD上是否存在点P(点C,D除外),使△POE是黄金三角形?若存在,画出点P,简要说明画出点P的方法(不要求证明);若不存在,说明理由. 【答案】(1)∵AB是⊙O的直径,DE=AB,∴OA=OC=OE=DE.则∠EOD=∠CDB,∠OCE=∠OEC. 设∠CDB=x,则∠EOD=x,∠OCE=∠OEC=2x.∵∠BOC=108°,∴∠CDB+∠OCD=108°.∴x+2x=108°,x=36°.∴∠CDB=36°. (2)①有三个:△DOE,△COE,△COD.∵OE=DE,∠CDB=36°,∴△DOE是黄金三角形. ②∵△COD是黄金三角形,∴OCOD=.∵OD=2,∴OC=-1.∴CD=OD=2,DE=OC=-1. ∴CE=CD-DE=2-(-1)=3-. (第16题答图) ③存在,有三个符合条件的点P1,P2,P3,如答图所示,以OE为底边的黄金三角形:作OE的垂直平分线分别交直线AB,CD得到点P1,P2;以OE为腰的黄金三角形:点P3与点A重合. 17.【山西】宽与长之比是(约0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形隐藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀整的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形:作正方形ABCD,分别取AD,BC的中点E,F,连结EF;以点F为圆心、FD为半径画弧,交BC的延长线于点G;作GH⊥AD,交AD的延长线于点H,则下列矩形中,属于黄金矩形的是(D). (第17题) A.矩形ABFE B.矩形EFCD C.矩形EFGH D.矩形DCGH 18.【辽阳】勾股定理与黄金分割是几何中的双宝,前者好比黄金,后者堪称珠玉,生活中到处可见黄金分割的美. 如图所示,线段AB=1,点P1是线段AB的黄金分割点(AP1<BP1),点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2<P1P2),点P3是线段AP2的黄金分割点(AP3<P2P3)……依此类推,则APn的长度是 ()n . (第18题) 19.如图1所示,点C将线段AB分成两部分,若=,点