4.1比例线段（3）

4.1 比例线段（3） 黄金比为≈0.618，黄金分割是分一条线段，黄金比是一个比值，留意它们的区分和联系． 1.已知线段a4，b16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于B. A.10 B.8 C.-8 D.8 2.已知C是线段AB上的一个点，且满意AC2BCAB，则下列式子成立的是B. 3.美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值接近0.618时会给人一种美感.已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为D. A.6cm B.10cm C.4cm D.8cm 4.已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB10cm，则PQ长为C. A.5（-1） B.5（1） C.10（-2） D.5（3-） 5.如图所示，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，假如S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1与S2之间的大小关系是A. A.S1S2 B.S1＞S2 C.S1＜S2 D.不能确定 （第5题）（第7题） 6.已知线段a9，c4，假如线段b是a，c的比例中项，那么b 6 . 7.为了弘扬雷锋精神，某中学打算在校内内建立一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案.方小琦同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图所示为小琦同学依据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的高度应设计为 1.24 m（精确到0.01m，参考数据≈1.414，≈1.732，≈2.236）. 8.已知C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，BC3-，则AB的长为 2 ． 9.已知C，D是线段AB的黄金分割点，AB10，求线段AC与CD的长. （第9题） 【答案】∵C，D是线段AB的黄金分割点，∴ACAB5-5，BDAB5-5.∴ADAB-BD15-5.∴CDAC-AD5-5-（15-5）105-20. （第10题） 10.如图1所示为一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形.按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再绽开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么矩形EFDC还是黄金矩形吗若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由． 【答案】矩形EFDC是黄金矩形.理由如下∵四边形ABEF是正方形，∴ABDCAF.∵，∴,即F是线段AD的黄金分割点.∴.∴.∴矩形EFDC是黄金矩形. 11.乐器上的一根琴弦AB60cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为C. A.（90-30）cm B.（3030）cm C.（30-30）cm D.（30-60）cm 12.如图所示，P为线段AB的黄金分割点（PB＞PA），四边形AMNB、四边形PBFE都为正方形，且面积分别为S1，S2.四边形APHM、四边形APEQ都为矩形，且面积分别为S3，S4.下列说法中，正确的是B. A.S2S1 B.S2S3 C.S3S4 D.S4S1 （第12题） （第14题） 13.已知线段AB及AB上一点P，P为AB的黄金分割点.给出下列结论①AP2ABPB；②APAB；③PBAB；④；⑤.其中正确的是A. A.①②③ B.①②③ C.②③④⑤ D.①②③④⑤ 14.顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形.如图所示，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角相等，则图中的黄金三角形有 20 个． 15.（1）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP，PB，使AP＞PB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为 . （2）如图所示，在Rt△ABC中，∠B90，AB2BC，现以点C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于点D，再以点A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于点E.求证E是线段AB的黄金分割点. （第15题） 【答案】1 2设BCa，则AB2a，∴ACa.由题意得CDBCa，∴AEADa-a，BEAB-AE3a-a. ∴，.∴，即E是线段AB的黄金分割点. （第16题） 16.如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC108，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D，E，连结OE，DE12AB，OD2． （1）求∠CDB的度数． （2）我们把有一个内角等于36的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比． ①写出图中全部的黄金三角形，选一个说明理由. ②求弦CE的长. ③在直线AB或CD上是否存在点P（点C，D除外），使△POE是黄金三角形若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由． 【答案】1∵AB是⊙O的直径，DEAB，∴OAOCOEDE.则∠EOD∠CDB，∠OCE∠OEC. 设∠CDBx，则∠EODx，∠OCE∠OEC2x.∵∠BOC108，∴∠CDB∠OCD108.∴x2x108，x36.∴∠CDB36. 2①有三个△DOE，△COE，△COD.∵OEDE，∠CDB36，∴△DOE是黄金三角形. ②∵△COD是黄金三角形，∴OCOD.∵OD2，∴OC-1.∴CDOD2，DEOC-1. ∴CECD-DE2-（-1）3-. （第16题答图） ③存在，有三个符合条件的点P1，P2，P3，如答图所示，以OE为底边的黄金三角形作OE的垂直平分线分别交直线AB，CD得到点P1，P2;以OE为腰的黄金三角形点P3与点A重合. 17.【山西】宽与长之比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形隐藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀整的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连结EF；以点F为圆心、FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则下列矩形中，属于黄金矩形的是D. （第17题） A.矩形ABFE B.矩形EFCD C.矩形EFGH D.矩形DCGH 18.【辽阳】勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美. 如图所示，线段AB1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3）依此类推，则APn的长度是 （）n ． （第18题） 19.如图1所示，点C将线段AB分成两部分，若，点