3正方形的性质与判
3 正方形的性质与判定 基础闯关全练 拓展训练 1.已知四边形ABCD,则下列说法正确的是( ) A.若AB∥CD,AB=CD,则四边形ABCD是平行四边形 B.若AC⊥BD,AC=BD,则四边形ABCD是矩形 C.若AC⊥BD,AB=AD,CB=CD,则四边形ABCD是菱形 D.若AB=BC=CD=AD,则四边形ABCD是正方形 2.如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,E、F分别是边BM、CM的中点,当AB∶AD= 时,四边形MENF是正方形. 实力提升全练 拓展训练 1.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形态变更.当∠B=90°时,如图①,测得AC=2.当∠B=60°时,如图②,AC=( ) A.2 B.2 C.6 D.22 2.(2019江苏徐州中考)如图,正方形ABCD的边长为2,点E、F分别在边AD、CD上,若∠EBF=45°,则△EDF的周长等于 . 3.如图所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且EA=EC. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若∠DAC=∠EAD+∠AED,求证:四边形ABCD是正方形. 三年模拟全练 拓展训练 1.(2019上海虹口二模,6,★)下列命题中,正确的是( ) A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等的四边形是正方形 C.对角线垂直的平行四边形是正方形 D.对角线相等的菱形是正方形 2.(2019江苏徐州三模,25,★★)如图,D是线段AB的中点,C是线段AB的垂直平分线上的一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F. (1)求证:DE=DF; (2)当CD与AB满意怎样的数量关系时,四边形CEDF为正方形?请说明理由. 3.(2019山东青岛试验中学二模,21,★★)如图,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG. (1)证明:△EFD≌△GFB; (2)试推断四边形EBGD的形态,并说明理由; (3)当△ABC是 时,四边形EBGD是正方形(不用说明理由). 4.(2019河南平顶山试验中学第一次月考,23,★★★) (1)如图①,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,说明理由; (2)如图②,在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当AB=AD,∠B+∠D=180°,∠EAF=12∠BAD时,EF=BE+DF成立吗?请干脆写出结论. 五年中考全练 拓展训练 1.(2019湖南郴州中考,8,★)如图,在正方形ABCD中,△ABE和△CDF为直角三角形,∠AEB=∠CFD=90°,AE=CF=5,BE=DF=12,则EF的长是( ) A.7 B.8 C.72 D.73 2.如图,在正方形ABCD的外侧作等边△ADE,则∠BED的度数为 °. 3.(2019湖南邵阳中考,20,★★)如图所示,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,∠OBC=∠OCB. (1)求证:平行四边形ABCD是矩形; (2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形. 核心素养全练 拓展训练 1.在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1,D1E1E2B2,A2B2C2D2,D2E3E4B3,A3B3C3D3,…按如图所示的方式放置,其中点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3、…在x轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3∥……,则正方形A2 015B2 015C2 015D2 015的边长是( ) A.122 014 B.122 015 C.332 015 D.332 014 2.如图①所示,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起,现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转. (1)如图②所示,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过视察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满意的数量关系,并证明你的猜想; (2)若三角尺GEF旋转到如图③所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 3 正方形的性质与判定 基础闯关全练 拓展训练 1.答案 A A.若AB∥CD,AB=CD,则四边形ABCD是平行四边形,故此选项正确; B.若AC⊥BD,AC=BD,无法得到四边形ABCD是矩形,故此选项错误; C.若AC⊥BD,AB=AD,CB=CD,无法得到四边形ABCD是菱形,故此选项错误; D.若AB=BC=CD=AD,无法得到四边形ABCD是正方形,故此选项错误.故选A. 2.答案 1∶2 解析 当AB∶AD=1∶2时,四边形MENF是正方形. ∵AB∶AD=1∶2,AM=DM,AB=CD, ∴AB=AM=DM=DC, ∵∠A=∠D=90°, ∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°, ∴∠BMC=90°. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠DCB=90°, ∴∠MBC=∠MCB=45°,∴BM=CM. ∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点, ∴BE=CF=ME=MF,NF∥BM,NE∥CM, ∴四边形MENF是平行四边形, ∵ME=MF,∠BMC=90°, ∴四边形MENF是正方形. 实力提升全练 拓展训练 1.答案 A 易知题图①为正方形,AC为其对角线,由2BC2=AC2得BC=2. 易知题图②为菱形,∠B=60°,连接AC,∴△ABC为等边三角形,∴AC=BC=2.故选A. 2.答案 4 解析 将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAC 的位置, ∵∠BAC +∠BAD=180°, ∴C 、A、D三点共线. ∵∠ABC=90°,∠EBF=45°, ∴∠FBC+∠EBA=45°. ∵∠FBC=∠C BA, ∴∠C BA+∠EBA=45°, ∴∠EBF=∠EBC =45°. 在△EBF和△EBC 中,FB=C B,∠EBF=∠EBC ,EB=EB, ∴△EBF≌△EBC ,∴EF=EC , 又CF=AC , ∴EF=EA+AC =EA+FC, ∴△DEF的周长=DE+DF+EF=DA+DC=4. 3.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO=12AC, ∵EA=EC,∴EO⊥AC,即BD⊥AC, ∴平行四边形ABCD是菱形. (2)∵∠1=∠EAD+∠AED,∠DAC=∠EAD+∠AED, ∴∠1=∠DAC,∴AO=DO. 由(1)知四边形ABCD是菱形, ∴AC=2AO,DB=2DO,∴AC=BD, ∴菱形ABC