3正方形的性质与判

3 正方形的性质与判定 基础闯关全练 拓展训练 1.已知四边形ABCD,则下列说法正确的是 A.若AB∥CD,ABCD,则四边形ABCD是平行四边形 B.若AC⊥BD,ACBD,则四边形ABCD是矩形 C.若AC⊥BD,ABAD,CBCD,则四边形ABCD是菱形 D.若ABBCCDAD,则四边形ABCD是正方形 2.如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,E、F分别是边BM、CM的中点,当AB∶AD 时,四边形MENF是正方形. 实力提升全练 拓展训练 1.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形态变更.当∠B90时,如图①,测得AC2.当∠B60时,如图②,AC A.2 B.2 C.6 D.22 2.2019江苏徐州中考如图,正方形ABCD的边长为2,点E、F分别在边AD、CD上,若∠EBF45,则△EDF的周长等于 . 3.如图所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且EAEC. 1求证四边形ABCD是菱形; 2若∠DAC∠EAD∠AED,求证四边形ABCD是正方形. 三年模拟全练 拓展训练 1.2019上海虹口二模,6,★下列命题中,正确的是 A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等的四边形是正方形 C.对角线垂直的平行四边形是正方形 D.对角线相等的菱形是正方形 2.2019江苏徐州三模,25,★★如图,D是线段AB的中点,C是线段AB的垂直平分线上的一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F. 1求证DEDF; 2当CD与AB满意怎样的数量关系时,四边形CEDF为正方形请说明理由. 3.2019山东青岛试验中学二模,21,★★如图,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG. 1证明△EFD≌△GFB; 2试推断四边形EBGD的形态,并说明理由; 3当△ABC是 时,四边形EBGD是正方形不用说明理由. 4.2019河南平顶山试验中学第一次月考,23,★★★ 1如图①,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF45,连接EF,则EFBEDF,说明理由; 2如图②,在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当ABAD,∠B∠D180,∠EAF12∠BAD时,EFBEDF成立吗请干脆写出结论. 五年中考全练 拓展训练 1.2019湖南郴州中考,8,★如图,在正方形ABCD中,△ABE和△CDF为直角三角形,∠AEB∠CFD90,AECF5,BEDF12,则EF的长是 A.7 B.8 C.72 D.73 2.如图,在正方形ABCD的外侧作等边△ADE,则∠BED的度数为 . 3.2019湖南邵阳中考,20,★★如图所示,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,∠OBC∠OCB. 1求证平行四边形ABCD是矩形; 2请添加一个条件使矩形ABCD为正方形. 核心素养全练 拓展训练 1.在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1,D1E1E2B2,A2B2C2D2,D2E3E4B3,A3B3C3D3,按如图所示的方式放置,其中点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3、在x轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O60,B1C1∥B2C2∥B3C3∥,则正方形A2 015B2 015C2 015D2 015的边长是 A.122 014 B.122 015 C.332 015 D.332 014 2.如图①所示,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起,现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O点O也是BD中点按顺时针方向旋转. 1如图②所示,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过视察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满意的数量关系,并证明你的猜想; 2若三角尺GEF旋转到如图③所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,1中的猜想还成立吗若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 3 正方形的性质与判定 基础闯关全练 拓展训练 1.答案 A A.若AB∥CD,ABCD,则四边形ABCD是平行四边形,故此选项正确; B.若AC⊥BD,ACBD,无法得到四边形ABCD是矩形,故此选项错误; C.若AC⊥BD,ABAD,CBCD,无法得到四边形ABCD是菱形,故此选项错误; D.若ABBCCDAD,无法得到四边形ABCD是正方形,故此选项错误.故选A. 2.答案 1∶2 解析 当AB∶AD1∶2时,四边形MENF是正方形. ∵AB∶AD1∶2,AMDM,ABCD, ∴ABAMDMDC, ∵∠A∠D90, ∴∠ABM∠AMB∠DMC∠DCM45, ∴∠BMC90. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC∠DCB90, ∴∠MBC∠MCB45,∴BMCM. ∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点, ∴BECFMEMF,NF∥BM,NE∥CM, ∴四边形MENF是平行四边形, ∵MEMF,∠BMC90, ∴四边形MENF是正方形. 实力提升全练 拓展训练 1.答案 A 易知题图①为正方形,AC为其对角线,由2BC2AC2得BC2. 易知题图②为菱形,∠B60,连接AC,∴△ABC为等边三角形,∴ACBC2.故选A. 2.答案 4 解析 将△BCF绕点B逆时针旋转90到△BAC的位置, ∵∠BAC∠BAD180, ∴C、A、D三点共线. ∵∠ABC90,∠EBF45, ∴∠FBC∠EBA45. ∵∠FBC∠CBA, ∴∠CBA∠EBA45, ∴∠EBF∠EBC45. 在△EBF和△EBC中,FBCB,∠EBF∠EBC,EBEB, ∴△EBF≌△EBC,∴EFEC, 又CFAC, ∴EFEAACEAFC, ∴△DEF的周长DEDFEFDADC4. 3.证明 1∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AOCO12AC, ∵EAEC,∴EO⊥AC,即BD⊥AC, ∴平行四边形ABCD是菱形. 2∵∠1∠EAD∠AED,∠DAC∠EAD∠AED, ∴∠1∠DAC,∴AODO. 由1知四边形ABCD是菱形, ∴AC2AO,DB2DO,∴ACBD, ∴菱形ABC