3.1.3 空间向量的数量积运算
3.1.3 空间向量的数量积运算 【选题明细表】 学问点、方法 题号 数量积的概念及运算 1,2,4 求夹角 3,5,10,11,12 垂直问题 7,8 长度(模)问题 6,9,12 【基础巩固】 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:①(++)2=3;②·(-)=0;③与的夹角为60°.其中正确命题的个数是( B ) (A)1(B)2(C)3(D)0 解析:①,②均正确;③不正确,因为与的夹角为120°.故选B. 2.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( A ) (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件 解析:若a·b=|a||b|,则=0°,所以a与b共线;反之,若a与b共线,则=0°或180°,a·b=±|a||b|.故选A. 3.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=e1+e2与b=e1-2e2的夹角是( B ) (A)60°(B)120°(C)30°(D)90° 解析:因为a·b=(e1+e2)·(e1-2e2)=-e1·e2-2=1-1×1×-2=-, |a|=== ==, |b|=== ==, 所以cos===-. 所以=120°. 4.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( C ) (A)2· (B)2· (C)2· (D)2· 解析:2·=-a2,故A错;2·=-a2,故B错;2·=-a2,故D错;只有C正确.故选C. 5.设|m|=1,|n|=2,2m+n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则向量a,b的夹角= . 解析:因为(2m+n)⊥(m-3n), 所以(2m+n)·(m-3n)=0, 化简得m·n=-2. 又|a|====6, |b|====3, a·b=(4m-n)·(7m+2n)=28|m|2-2|n|2+m·n=18, 所以cos===1. 所以=0°. 答案:0° 6.已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC= . 解析:因为=++, 所以||2=(++)2=+++2·+2·+2·= 36+36+36+0+0+2||·||cos 60°=108+2×6×6×=144. 所以PC=12. 答案:12 7.如图,直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值. (1)证明:设=a,=b,=c, 依据题意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0, 所以=b+c,=-c+b-a. 所以·=-c2+b2=0. 所以⊥,即CE⊥A′D. (2)解:因为=-a+c, 所以||=|a|. 又||=|a|, ·=(-a+c)·(b+c)=c2=|a|2, 所以cos==, 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为. 【实力提升】 8.平面上有四个互异点A,B,C,D,已知(++2)·(-)=0, 则△ABC的形态是( C ) (A)直角三角形(B)等腰直角三角形 (C)等腰三角形(D)无法确定 解析:因为(++2)·(-)=0, 所以(+)·(-)=0, 可得=,可得AB=AC. 不能确定△ABC为直角三角形.故选C. 9.将AB=2,BC=2的长方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角,则B,D间的距离为 . 解析:作DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F(图略), 由已知得,AC=4,DE=BF=, 所以AE=CF=1, 所以EF=2, 因为二面角的大小为60°, 所以与的夹角为120°, 所以||2=(++)2=7, 所以||=. 答案: 10.已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cos= . 解析:将|a-b|=两边平方,得(a-b)2=7. 因为|a|=2,|b|=2, 所以a·b=. 又a·b=|a||b|cos, 故cos==. 答案: 11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,E为CC1上的点,且CE=1,求异面直线AB1,BE所成角的余弦值. 解:·=(+)·(+)=·+·+·+·=0+0+0+3=3. 依题意,易知||=,||=, 所以cos===. 【探究创新】 12.在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别是D′D,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H为C′G的中点. (1)求EF,C′G所成角的余弦值; (2)求FH的长. 解:设=a,=b,=c, 则a·b=b·c=c·a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1. (1)因为=+=-c+(a-b)=(a-b-c), =+=-c-a, 所以·=(a-b-c)·(-c-a) =(-a2+c2)=, ||2=(a-b-c)2=(a2+b2+c2)=, ||2=(-c-a)2=c2+a2=, 所以||=,||=, cos==, 所以EF,C′G所成角的余弦值为. (2)因为=+++ =(a-b)+b+c+ =(a-b)+b+c+(-c-a) =a+b+c, 所以||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2 =, 所以FH的长为.