3.1.3　空间向量的数量积运算

3.1.3 空间向量的数量积运算 【选题明细表】 学问点、方法 题号 数量积的概念及运算 1,2,4 求夹角 3,5,10,11,12 垂直问题 7,8 长度模问题 6,9,12 【基础巩固】 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题①23;②-0;③与的夹角为60.其中正确命题的个数是 B A1B2C3D0 解析①,②均正确;③不正确,因为与的夹角为120.故选B. 2.若a,b均为非零向量,则ab|a||b|是a与b共线的 A A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分又不必要条件 解析若ab|a||b|,则a,b0,所以a与b共线;反之,若a与b共线,则a,b0或180,ab|a||b|.故选A. 3.已知e1,e2是夹角为60的两个单位向量,则ae1e2与be1-2e2的夹角是 B A60B120C30D90 解析因为abe1e2e1-2e2-e1e2-21-11-2-, |a| , |b| , 所以cosa,b-. 所以a,b120. 4.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是 C A2 B2 C2 D2 解析2-a2,故A错;2-a2,故B错;2-a2,故D错;只有C正确.故选C. 5.设|m|1,|n|2,2mn与m-3n垂直,a4m-n,b7m2n,则向量a,b的夹角a,b . 解析因为2mn⊥m-3n, 所以2mnm-3n0, 化简得mn-2. 又|a|6, |b|3, ab4m-n7m2n28|m|2-2|n|2mn18, 所以cosa,b1. 所以a,b0. 答案0 6.已知PA⊥平面ABC,∠ABC120,PAABBC6,则PC . 解析因为, 所以||22222 363636002||||cos 60108266144. 所以PC12. 答案12 7.如图,直三棱柱ABC-A′B′C′中,ACBCAA′,∠ACB90,D,E分别为AB,BB′的中点. 1求证CE⊥A′D; 2求异面直线CE与AC′所成角的余弦值. 1证明设a,b,c, 依据题意,|a||b||c|且abbcca0, 所以bc,-cb-a. 所以-c2b20. 所以⊥,即CE⊥A′D. 2解因为-ac, 所以|||a|. 又|||a|, -acbcc2|a|2, 所以cos,, 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为. 【实力提升】 8.平面上有四个互异点A,B,C,D,已知2-0, 则△ABC的形态是 C A直角三角形B等腰直角三角形 C等腰三角形D无法确定 解析因为2-0, 所以-0, 可得,可得ABAC. 不能确定△ABC为直角三角形.故选C. 9.将AB2,BC2的长方形ABCD沿对角线AC折成60的二面角,则B,D间的距离为 . 解析作DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F图略, 由已知得,AC4,DEBF, 所以AECF1, 所以EF2, 因为二面角的大小为60, 所以与的夹角为120, 所以||227, 所以||. 答案 10.已知a,b是空间两个向量,若|a|2,|b|2,|a-b|,则cosa,b . 解析将|a-b|两边平方,得a-b27. 因为|a|2,|b|2, 所以ab. 又ab|a||b|cosa,b, 故cosa,b. 答案 11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB1,BC2,AA13,E为CC1上的点,且CE1,求异面直线AB1,BE所成角的余弦值. 解00033. 依题意,易知||,||, 所以cos,. 【探究创新】 12.在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别是D′D,DB的中点,G在棱CD上,CGCD,H为C′G的中点. 1求EF,C′G所成角的余弦值; 2求FH的长. 解设a,b,c, 则abbcca0,|a|2a21,|b|2b21,|c|2c21. 1因为-ca-ba-b-c, -c-a, 所以a-b-c-c-a -a2c2, ||2a-b-c2a2b2c2, ||2-c-a2c2a2, 所以||,||, cos,, 所以EF,C′G所成角的余弦值为. 2因为 a-bbc a-bbc-c-a abc, 所以||2abc2a2b2c2 , 所以FH的长为.