3.1.1 两角差的余弦公式
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 【选题明细表】 学问点、方法 题号 化简求值 1,6,7 条件求值 3,4,11 给值求角 5,12 综合应用 2,8,9,10,13 1.cos 65°cos 35°+sin 65°sin 35°等于( C ) (A)cos 100°(B)sin 100° (C) (D) 解析:cos 65°cos 35°+sin 65°sin 35°=cos(65°-35°)= cos 30°=.故选C. 2.若a=(cos 60°,sin 60°),b=(cos 15°,sin 15°),则 a·b等于( A ) (A)(B)(C)(D)- 解析:a·b=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°-15°)= cos 45°=.故选A. 3.设α∈(0,),若sin α=,则cos(α-)等于( B ) (A)(B) (C)-(D)- 解析:因为α∈(0,),sin α=,所以cos α=, 原式=(cos αcos +sin αsin )=cos α+sin α=+=.故选B. 4.已知sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,则cos(α-β)的值为( B ) (A)(B)(C) (D)1 解析:因为sin α-sin β=1-, 所以sin2α-2sin αsin β+sin2β=-. ① 又因为cos α-cos β=, 所以cos2α-2cos αcos β+cos2β=. ② 由①+②得,2cos(α-β)=, 所以cos(α-β)=, 故选B. 5.若α∈[0,π],sinsin+cos cos =0,则α的值是( D ) (A)(B)(C)(D) 解析:由已知得coscos+sinsin=0, 即cos(-)=0,cos α=0. 又α∈[0,π],所以α=,选D. 6.化简:= . 解析:原式= = = ==. 答案: 7.cos 75°+sin 75°= . 解析:cos 75°+sin 75° =cos 30°cos 75°+sin 30°sin 75°=cos(30°-75°) =cos(-45°)=. 答案: 8.(2019·成都高一期末)已知tan α=4,cos(α+β)=-,α,β均为锐角,求cos β的值. 解:因为α∈(0,),tan α=4, 所以sin α=4cos α. ① 又sin2α+cos2α=1, ② 由①②得sin α=,cos α=. 因为α+β∈(0,π),cos(α+β)=-, 所以sin(α+β)=. 所以cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =(-)×+×=. 9.已知cos(x-)=-,则cos x+cos (x-)等于( C ) (A)-(B)±(C)-1(D)±1 解析:因为cos(x-)=-, 所以cos x+cos (x-)=cos x+cos x+sin x =cos x+sin x =(cos x+sin x) =cos(x-) =-1. 故选C. 10.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cos A,sin A),b= (cos B, sin B),且a·b=1,则△ABC肯定是( B ) (A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等边三角形 (D)等腰直角三角形 解析:因为a·b=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的内角, 所以A=B,即△ABC肯定是等腰三角形.故选B. 11.已知sin α+sin β+sin γ=0和cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α-β)的值是( C ) (A)(B) (C)- (D)- 解析:由已知得,-sin γ=sin α+sin β,① -cos γ=cos α+cos β, ② ①2+②2得,1=1+1+2sin αsin β+2cos αcos β, 化简得cos αcos β+sin αsin β=-, 即cos(α-β)=-, 故选C. 12.已知α,β为锐角,cos α=,sin(α+β)=,求β. 解:因为α为锐角,且cos α=, 所以sin α===. 又α,β为锐角,所以α+β∈(0,π). 又sin(α+β)=