2021高中数学第48炼多变量表达式范围数形结合
第48炼 多变量表达式的范围——数形结合 一、基础知识: 1、数形结合的适用范围: (1) 题目条件中含有多个不等关系,经过分析后可得到关于两个变量的不等式组 (2) 所求的表达式具备一定的几何意义(截距,斜率,距离等) 2、如果满足以上情况,则可以考虑利用数形结合的方式进行解决 3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形,其条件与 所求为双变量的一次表达式 4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理,这要看所给的不等条 件(尤其是不等号方向)是否有利于进行放缩。 二、典型例题 例1:三次函数/(%) = %3 + bx2 +cx + d(b,c,d&R)在区间[-1,2]±是减函数,那么b + c 的取值范围是( A.[ 一省 C. D. 思路:先由减函数的条件得到Z?,c的关系,f\x) = 3x2+2bx + c,所以xe[-l,2] 时,/(X) 3 的平方,考虑数形结合。将①作出可行域,为以C(3,4)为圆心,半径为2的圆的右边部分(内 部),观察图像可得该右半圆距离原点的距离范围是(713,7),所以nr +rr e(13,49) 答案:C 例3:已知函数y = /(%)是R上的减函数,函数y = /(x-1)的图像关于点(1,0)对称,若实 数X, y满足不等式/(%2-2%)0o再结合1%尤0 A_ 2/、、 tz + 2/? +1 0 b-2 想到线性规划,通过作出可行域,数形结合可知的范围是 3 — 1 答案:A 例5:已知实系数方程x3+ax2+bx + c = 0的三个根可以作为一椭圆,一双曲线,一抛物线的 b 离心率,则—的取值范围是 a 思路:以抛物线离心率为突破口可得x = l是方程的根,设f(x) = x3+ax2+bx + c,则 f(l) = l + . + Z? + c = 0 ,从 而 c = -(a + Z? + 1),进而 因式分 解可知 (X — 1)[工2 + (。+ 1)工+1 +。+人]=0 ,所以椭圆与双曲线的离心率满足方程 g(o)〉o = g(l)0,y>0 x- y> -1表示的平面区域内的任意一点,向量 x+ybn +伊则人一/z的最大值为() A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 思路:本题的变量较多,首先要确定核心的变量。 题目所求为人,〃的表达式。所以可视其为核心变 量,若要求得2-//的最值,条件需要关于人,〃的 不等式组。所以考虑利用与;的关系将原 先关于的不等式组替换为关于人,//的等式组 2 + 2//>0 2 + // > 0 // > -1 22 + 3//<3 即可 解:设 P(x,y) OP = (x,y),2m + jun = ^2 + 2jL/,2 + //) 尤=人+2“_