2021高中数学第48炼多变量表达式范围数形结合

第48炼 多变量表达式的范围数形结合 一、基础知识 1、数形结合的适用范围 1 题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组 2 所求的表达式具备一定的几何意义截距，斜率，距离等 2、如果满足以上情况,则可以考虑利用数形结合的方式进行解决 3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与 所求为双变量的一次表达式 4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理,这要看所给的不等条 件尤其是不等号方向是否有利于进行放缩。 二、典型例题 例1三次函数/ 3 bx2 cx db,c,dR在区间[-1,2]是减函数，那么b c 的取值范围是 A.[ 一省 C. D. 思路先由减函数的条件得到Z,c的关系，f\x 3x22bx c，所以xe[-l,2] 时,/X 0恒成立，通过二次函数图像可知 /2罚 n 2b-c-30 ,由关于 4/ c 12 0 b,c的不等式组可想到利用线性规划求得Z c的取值范围，通过作图可得b c 2 答案D 例2设/* x是定义在R上的增函数,且对于任意的尤都有/l-x /l x O恒成立, fm2 -6m 23 fn2 -8n 099 如果实数时2满足不等式组EJ V ，那么m2n2的取值范 m3 围是 A. 3,7B. 9,25C. 13,49D. 9,49 思路首先考虑变形fm2-6w 23 /n2-8n0,若想得到g 〃的关系，那么需要 利用函数的单调性将函数值的大小转变为括号内式子的大小。由/l-x /l x 0可 得/I-X -/l x,所以/*3关于1,0中心对称，即yx /2-x,所以 fm2 -6m 23jf0 /m2 6m 23 f {n1 f2 n2 8〃 ，利用 x单调递增可得m2 - 6m 23 v 2 〃之 8〃 m 32 〃 一 42 v 4,所以 3V 〃 42 v4 满足的条件为①，所求m2 n2可视为点m,〃到原点距离 m 3 的平方，考虑数形结合。将①作出可行域，为以C3,4为圆心，半径为2的圆的右边部分内 部，观察图像可得该右半圆距离原点的距离范围是713,7,所以nr rr e13,49 答案C 例3已知函数y /是R上的减函数，函数y /x-1的图像关于点1,0对称，若实 数X, y满足不等式/2-2-/2y-y2,且1〈 x〈 4,则兰的取值范围是 思路从所求出发可联想到x,y与0,0连线的斜率，先分析 已知条件，由/x-1对称性可知/X为奇函数，再结合单调4 递减的性质可将所解不等式进行变形、 /x2 -2x -f2y -/x2 -2x // - 2, x1 - 2x y2 - 2y ,即/一寸 一 〉。，所以有g x-jxy-20o再结合1尤4可作出可行域如图，数形结合可知〉的范围 答案Li 2 例4 已知a,”是三次函数/-ax2 2bxa,b e 7的两个极值点，且 A-2 a0,1,月1,2测的取值范围是 。一1 A. B. C. D. 思路由极值点可想到方程/ 0的根，f\x x ax 2b，依题意可得 2 ax 2b 0的两根分别在0,1,1,2中，由二次函数图像可知 b0 A_ 2/、、 tz 2/ 1 0 ,且所求可视为g,Z与定点1,2连线的斜率，所以 。一1 4 2。 2b 0 b-2 想到线性规划，通过作出可行域,数形结合可知的范围是 3 1 答案A 例5已知实系数方程x3ax2bx c 0的三个根可以作为一椭圆，一双曲线，一抛物线的 b 离心率，则的取值范围是 a 思路以抛物线离心率为突破口可得x l是方程的根，设fx x3ax2bx c,则 fl l . Z c 0 ,从 而 c -a Z 1,进而 因式分 解可知 X 1［工2 。 1工1 。人］0 ,所以椭圆与双曲线的离心率满足方程 go〉o gln 工2. 1尤 1 . / 0,设 工2 . ]、 ] . 力，则由椭圆与双曲线离心 率的范围可知g 尤0 一根在0,1, 一根在1, 8,所以 b 由不等式组想到利用线性规划求一的范围，即可行域中的点与原点连线斜率的范围。通过作 a 图即可得到-el-2,-| 答案I 2, 例6已知三个正实数a,b,c满足ba c2b,ab c2a测里的取值范围是 b 思路考虑将条件向与生有关的式子进行变形，从而找到关于M的条件 bb n c ba c2b\- -2 ，可发现不等式组只与色,f相关，不妨设x ,y , 7. oa c 2ab bb b ab c2a l b b b 则不等式组转化为1 \xy2 x\ y2x 即 \xy2 x- y-1 0 ,所求恰好为尤的范围，作出可行域即可得到尤的范围为 2x - y-1 0 2 3 3J2 答案 2 3 3J2 例7 设P是不等式组 x0,y0 x- y -1表示的平面区域内的任意一点，向量 xy3 m （l,l）, 〃 （2,1）,若OF bn 伊则人一/z的最大值为（） A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 思路本题的变量较多，首先要确定核心的变量。 题目所求为人,〃的表达式。所以可视其为核心变 量，若要求得2-//的最值，条件需要关于人，〃的 不等式组。所以考虑利用与；的关系将原 先关于的不等式组替换为关于人,//的等式组 2 2//0 2 // 0 // -1 22 3//3 即可 解设 Px,y OP x,y,2m jun 2 2jL/,2 // 尤人2_