2导数的概念经典例题
经典例题透析 类型一:求函数的平均改变率 例1、求在到之间的平均改变率,并求,时平均改变率的值. 思路点拨: 求函数的平均改变率,要紧扣定义式进行操作. 解析:当变量从变到时,函数的平均改变率为 当,时,平均改变率的值为:. 总结升华:解答本题的关键是娴熟驾驭平均改变率的概念,只要求出平均改变率的表达式,其他就迎刃而解. 举一反三: 【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2,2+]内的平均改变率。 【答案】, 所以平均改变率为。 【变式2】已知函数,分别计算在下列区间上的平均改变率: (1)[1,3]; (2)[1,2]; (3)[1,1.1]; (4)[1,1.001]. 【答案】(1)4;(2)3;(3)2.1;(4)2.001. 【变式3】自由落体运动的运动方程为,计算t从3s到3.1s,3.01s,3.001s各段内的平均速度(位移s的单位为m)。 【答案】要求平均速度,就是求的值,为此需求出、。 设在[3,3.1]内的平均速度为v1,则 , 。 所以。 同理。 。 【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线,求出当时割线的斜率. 【答案】3.31 当时 类型二:利用定义求导数 例2、用导数的定义,求函数在x=1处的导数。 解析:∵ ∴ ∴。 总结升华:利用导数的定义求导数的步骤: 第一步求函数的增量;其次步求平均改变率;第三步取极限得导数。 举一反三: 【变式1】已知函数 (1)求函数在x=4处的导数. (2)求曲线上一点处的切线方程。 【答案】 (1) , (2)由导数的几何意义知,曲线在点处的切线斜率为, ∴所求切线的斜率为。 ∴所求切线方程为,整理得5x+16y+8=0。 【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数: (1); (2); (3); (4)。 【答案】 (1), ∴, ∴。 (2), ∴, ∴。 (3), ∴, ∴。 (4), ∴, ∴。 例3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程. 思路点拨:从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值,再由导数的几何意义,得所求切线的斜率,将x=1代入函数可得切点坐标,从而建立切线方程. 解析:设. 由f(1)=3,故切点为(1,3), 切线方程为y―3=5(x―1),即y=5x―2. 总结升华: 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤: ① 求出导函数在处的导数(即过点的切线的斜率), ② 用点斜式写出切线方程,再化简整理。 举一反三: 【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线: (1)平行于直线y=4x―5; (2)垂直于直线2x―6y+5=0; (3)与x轴成135°的倾斜角。 【答案】, 设所求切点坐标为P(x0,y0),则切线斜率为k=2x0 (1)因为切线与直线y=4x―5平行,所以2x0=4,x0=2,y0=4, 即P(2,4)。 (2)因为切线与直线2x―6y+5=0垂直,所以,得,, 即。 (3)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以其斜率为―1。即2x0=―1,得,, 即。 例4.已知函数可导,若,,求 解析: () (令t=x2,x→1,t→1) 举一反三: 【变式】已知函数可导,若,,求 【答案】 类型三:利用公式及运算法则求导数 例5.求下列函数的导数: (1); (2) (3); (4)y=2x3―3x2+5x+4 解析: (1). (2). (3)∵,∴. (4) 总结升华: ①娴熟驾驭导数基本公式,细致视察和分析各函数的结构规律,选择基本函数求导公式进行求导; ②不具备求导法则条件的,一般要遵循先化简,再求导的原则,适当进行恒等变形,步步为营,使解决问题水到渠成. 举一反三: 【变式】求下列函数的导数: (1); (2) (3)y=6x3―4x2+9x―6 【答案】 (1). (2) ∴. (3) 例6.求下列各函数的导函数 (1);(2)y=x2sinx; (3)y=; (4)y= 解析: (1)法一:去掉括号后求导. 法二:利用两个函数乘积的求导法则 =2x(2x-3)+(x2+1)×2 =6x2-6x+2 (2)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx (3)= (4) = = 举一反三: 【变式1】函数在处的导数等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 法一: ∴. 法二:∵ ∴ ∴. 【变式2】下列函数的导数 (1); (2) 【答案】 (1)法一: ∴ 法二: =+ (2) ∴ 【变式3】求下列函数的导数. (1); (2);(3). 【答案】 (1),∴. (2), ∴. (3)∵, ∴ . 类型四:复合函数的求导 例7.求下列函数导数. (1); (2); (3); (4). 思路点拨:求复合函数的导数首先必需弄清函数是怎样复合而成的,然后再按复合函数的求导法则求导. 解析: (1),. . (2), ∴ (3),. ∴ (4),, ∴ . 总结升华: ①复合函数的求导,肯定要抓住“中间变量”这一关键环节,然后应用法则,由外向里一层层求导,留意不要漏层。娴熟以后,可以摆脱引入中间变量的字母,只要心中记住就行,这样可以使书写简洁; ②求复合函数的导数的方法步骤: (1)分清复合函数的复合关系,选好中间变量; (2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数,留意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数; (3)依据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数,并把中间变量换成自变量的函数. 举一反三: 【变式1】求下列函数的导数: (1); (2) (3)y=ln(x+); (4) 【答案】 (1)令,, (2)令 (3)== (4) 类型五:求曲线的切线方程 例8.求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程. 解析:, x=1时,y=3, ∴切点为(1,3),切线斜率为5 切线方程为y―3=5(x―1),即y=5x―2. 总结升华: 求函数图像上点处的切线方程