2导数的概念经典例题

经典例题透析 类型一求函数的平均改变率 例1、求在到之间的平均改变率，并求，时平均改变率的值. 思路点拨 求函数的平均改变率，要紧扣定义式进行操作. 解析当变量从变到时，函数的平均改变率为 当，时，平均改变率的值为. 总结升华解答本题的关键是娴熟驾驭平均改变率的概念，只要求出平均改变率的表达式，其他就迎刃而解. 举一反三 【变式1】求函数y5x26在区间[2，2]内的平均改变率。 【答案】， 所以平均改变率为。 【变式2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均改变率 （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]. 【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001. 【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。 【答案】要求平均速度，就是求的值，为此需求出、。 设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则 ， 。 所以。 同理。 。 【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率. 【答案】3.31 当时 类型二利用定义求导数 例2、用导数的定义，求函数在x1处的导数。 解析∵ ∴ ∴。 总结升华利用导数的定义求导数的步骤 第一步求函数的增量；其次步求平均改变率；第三步取极限得导数。 举一反三 【变式1】已知函数 （1）求函数在x4处的导数. （2）求曲线上一点处的切线方程。 【答案】 （1） ， （2）由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为， ∴所求切线的斜率为。 ∴所求切线方程为，整理得5x16y80。 【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数 （1）； （2）； （3）； （4）。 【答案】 （1）， ∴， ∴。 （2）， ∴， ∴。 （3）， ∴， ∴。 （4）， ∴， ∴。 例3、求曲线yx32x在x1处的切线方程. 思路点拨从函数在一点处的导数定义可求得函数yx32x在x1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程. 解析设. 由f13，故切点为（1，3）， 切线方程为y35x1，即y5x2. 总结升华 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤 ① 求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率）， ② 用点斜式写出切线方程，再化简整理。 举一反三 【变式】在曲线yx2上过哪一点的切线 （1）平行于直线y4x5； （2）垂直于直线2x6y50； （3）与x轴成135的倾斜角。 【答案】， 设所求切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为k2x0 （1）因为切线与直线y4x5平行，所以2x04，x02，y04， 即P（2，4）。 （2）因为切线与直线2x6y50垂直，所以，得，， 即。 （3）因为切线与x轴成135的倾斜角，所以其斜率为1。即2x01，得，， 即。 例4．已知函数可导，若，，求 解析 （） （令tx2，x→1，t→1） 举一反三 【变式】已知函数可导，若，，求 【答案】 类型三利用公式及运算法则求导数 例5．求下列函数的导数 （1）； （2） （3）； （4）y2x33x25x＋4 解析 （1）. （2）. （3）∵，∴. （4） 总结升华 ①娴熟驾驭导数基本公式，细致视察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导； ②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成. 举一反三 【变式】求下列函数的导数 （1）； （2） （3）y6x34x29x6 【答案】 （1）. （2） ∴. （3） 例6．求下列各函数的导函数 （1）；（2）yx2sinx; （３）y； （４）y 解析 （1）法一去掉括号后求导. 法二利用两个函数乘积的求导法则 2x2x－3x212 6x2－6x2 （2）y′（x2）′sinx＋x2（sinx）′2xsinx＋x2cosx （３） （4） 举一反三 【变式1】函数在处的导数等于 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 法一 ∴. 法二∵ ∴ ∴. 【变式2】下列函数的导数 （1）； （2） 【答案】 （1）法一 ∴ 法二 （2） ∴ 【变式3】求下列函数的导数. （1）； （2）；（3）. 【答案】 （1），∴. （2）， ∴. （3）∵， ∴ . 类型四复合函数的求导 例7．求下列函数导数. （1）； （2）； （3）； （4）. 思路点拨求复合函数的导数首先必需弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导. 解析 （1），. . （2）， ∴ （3），. ∴ （4），， ∴ . 总结升华 ①复合函数的求导，肯定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，留意不要漏层。娴熟以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简洁； ②求复合函数的导数的方法步骤 （1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量； （2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，留意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数； （3）依据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数. 举一反三 【变式1】求下列函数的导数 1； （2） （3）yln（x＋）； （4） 【答案】 1令,, （2）令 （3）＝ （4） 类型五求曲线的切线方程 例8．求曲线yx32x在x1处的切线方程. 解析， x1时，y3， ∴切点为（1，3），切线斜率为5 切线方程为y35x1，即y5x2. 总结升华 求函数图像上点处的切线方程