固定效应下部分线性变系数面板模型的协方差矩阵检验

统计与决策2024年第4期·总第640期 0引言 在传统的线性面板数据模型中， 往往假设误差项是截 面独立且同方差的， 然而很多实际问题与这一假设并不相 符， 忽略这一客观事实可能产生错误的统计推断结果。 事实上， 针对上述问题， 已有许多文献提出了异方差 性与截面相关性的检验， 并取得了一系列成果。例如， Baltagi等 （2007） [1]考虑了面板数据的一般异方差误差分量 模型， 并针对两个误差分量中的异方差特征提出了同方差 的联合拉格朗日乘数 （LM） 检验； Ledoit和Wolf （2002） [2]分 析了标准协方差矩阵在维度较大， 特别是样本量很大时， 是否依然有效； Baltagi等 （2011） [3]提出了一种新的固定效 应面板数据回归模型的扰动球形度检验方法； Baltagi等 （2017） [4]分别研究了面对弱因素与强因素两种情况时， 固 定效应下球度检验的渐近功效； 陈冉冉和李高荣 （2019） [5] 在混合效应面板数据模型中研究了球形检验； Hu 等 （2021） [6]针对具有固定效应的非参数时变系数面板数据模 型提出了球形度和单位矩阵的零值检验。然而， 这些成果 都集中于对参数和非参数模型的讨论， 而针对半参数面板 模型的相关检验较少， 特别是对带有固定效应的部分线性 时变系数面板模型的研究还暂时未见文献讨论。基于此， 本文在此模型上展开讨论， 具体地： Yit=Z ⊤ itβ+X ⊤ itα( )t/T +μi+εiti=1N;t=1T （1） 其中，Zit=(Zit1Zitp)⊤为p维列向量，Xit=(Xit1 Xitq)⊤为q维列向量，β=(β1βp)⊤为未知参数向 量，α(t/T)=( ) α1(t/T)αq(t/T) ⊤ 为q´1维未知函数向量， μi是不可观察的个体固定效应， 误差项εit对于每个个体i 都是平稳的， 并且与Zit、Xit和μi都是不相关的。出于模 型识别性考虑， 假设å i=1 N μi=0。 1模型估计 关于模型（1）已有很多估计方法， 如 Li 和 Ullha （1998） [7]提出了可行的广义最小二乘 （GLS） 估计方法； Zhang 等 （2011） [8]通过经验似然来进行参数估计； Ai 等 （2014） [9]提出了半参数最小二乘虚拟变量估计器 （SLSDVE） 参数分量和非参数分量的级数估计量； Hu （2017） [10]通过多 元局部线性拟合、 变换技术和轮廓似然法， 研究了半参数固 定效应估计量、 半参数随机效应估计量及其渐近性质； Zhao 等 （2017） [11]通过取横截面平均值消除固定效应和局部线性 虚拟变量来进行估计； 曹连英和毕琳 （2020） [12]基于该测量 误差模型进行了岭估计。本文就是利用Zhao等 （2017） [11]的 方法研究半参数面板模型的协方差检验问题。 具体模型是： Y=Dμ+Zβ+Λ()Xα( )u+ε（2） 其中，Y=(Y11Y1TYNT)⊤，Z=(Z11Z1TZNT)⊤， ε=(ε11ε1TεNT)⊤， μ=(μ2μN)⊤； D=(-1N-1IN-1)⊤ ⊗1T，1T表示全是1的T维列向量，⊗表示克罗内克积； Λ(Xα(u))=(X ⊤ 11α( ) u1X ⊤ 1Tα( )uTX ⊤ NTα )() uT ⊤ ， 其中， ut=t/Tt=12T。 固定效应下部分线性变系数面板模型的 协方差矩阵检验 李睿， 舒颐超 （上海对外经贸大学 统计与信息学院， 上海 201620） 摘要： 面板数据的建模分析一直是计量经济学与统计学的研究热点之一。随着面板数据的深入研究， 面 板数据固定效应模型得到了广泛应用。关于部分线性时变系数模型的面板数据分析已有很多成果， 但大多数 假设模型误差是独立同分布的， 这一点在实际问题中未必符合。随着高维面板数据的出现， 对模型的协方差检 验也成了研究的重点。文章基于局部光滑技术和轮廓最小二乘估计方法， 研究了模型误差结构的协方差矩阵 球形检验和单位矩阵检验问题， 并证明了对应的统计量的渐近正态分布和大样本性质。蒙特卡洛模拟进一步 说明了检验方法的有效性和稳健性。 关键词： 半参数面板模型； 轮廓最小二乘； 球形检验； 单位矩阵检验 中图分类号： O212.7文献标识码： A文章编号： 1002-6487 （2024） 04-0028-06 基金项目： 国家社会科学基金资助项目 （17BTJ025） 作者简介： 李睿 （1980—） ， 男， 上海人， 博士， 副教授， 研究方向： 统计学。 舒颐超 （1998—） ， 男， 上海人， 硕士研究生， 研究方向： 非参数统计。 理 论 探 讨 DOI:10.13546/ ki.tjyjc.2024.04.005 28 统计与决策2024年第4期·总第640期 利用局部线性方法[13]估计变系数函数α(×)， 假设α(×) 二阶导数连续可微，“ututÎ(u-hu+h)，α(×)可以近似 地写为： α( )ut»α(u)+hα (u)´ ut-u h a+b´ ut-u h 其中，0u1。为了行文方便， 记θ=( ) μ⊤β⊤ ⊤ ， 且对 于给定的θ，( ) α⊤(u)hα ⊤(u) ⊤ 的局部线性估计为： argminæ è ç ö ø ÷Y-Dμ-Zβ-G( )u( ) a⊤b⊤ ⊤ ⊤ Γ( )u(Y-Dμ-Zβ ) -G( )u( ) a⊤b⊤ ⊤ （3） 其中，Γ(u)=IN⊗W(u)，W(u)=diag é ë êKæ è ö ø 1-uT Th  ù û úKæ è ö ø T-uT Th ，K(×)为 核 函 数 ，h为 窗 宽 ，G( )u = æ è ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ X ⊤ 11 1-uT Th X ⊤ 11  X ⊤ 1T T-uT Th X ⊤ 1T  X ⊤ NT T-uT Th X ⊤ NT 。 具体地， 通过轮廓最小二乘估计， 可得： α ͂ ( )u =()Iq0q()G(u)⊤Γ( )u G(u) -1G(u)⊤Γ ( )u(Y-Zβ )-Dμ（4） 令： Ω= æ è ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ () X ⊤ 110q( ) G(u1)⊤Γ(u1)G(u1) -1G(u 1) ⊤Γ(u 1)  () X ⊤ 1T0q( ) G(uT)⊤Γ(uT)G(uT) -1G(u T) ⊤Γ(u T)  () X ⊤ NT0q( ) G(uT)⊤Γ(uT)G(uT) -1G(u T) ⊤Γ(u T) 将式 （4） 代入式 （2） ， 可得： θ ̂ = argmin θ (Y ͂ -D ͂ μ-Z ͂ β)⊤( ) Y ͂ -D ͂ μ-Z ͂ β（5） 其中，Y ͂ =()INT-Ω Y， D ͂ =()INT-Ω D，