2019年全国Ⅱ卷文科数学高考真题

20192019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合 A={x|x-1}，B={x|x0，b0）的右焦点，O 为坐标原点， 以 OF 为直径 的圆与圆 A．2 B．3 C．2 D．5 交于 P，Q 两点。若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为 二．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.若变量 x，y 满足约束条件，则，z=3x-y 的最大值是。 14.我国高铁发展迅速，技术先进，经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点 率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列 车所有车次的平均正点率的估计值为 页 3 15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，知bsin A+ acosB = 0，则B= 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体 或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1），半正多面体是 由两种或两种以上的正多边形围成的多面体， 半正多面体体现了数学的对称美。图2是一个 棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上， 且此正方体的棱长为 1. 则该半正多面体共有个面， 其棱长为（本题第一空2分，第二空 3分） 图1 图2 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一） 必考题：共60分。 17.（12分） 页 4 如图， 长方体ABCD-A 1B1 C 1D1 的底面ABCD是正方形， 点 E 在棱AA 1上， （1）证明： （2）若AE= ； 。 A 1E ，AB= 3，求四棱锥E-BB 1 C 1C 的体积。 18. （12分） 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1 = 2，a 3 = 2a 2 +16。 （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n = log 2 a n ，求数列{b n }的前n项和。 19. （12分） 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业 第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表。 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例; 页 5 （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中 点值为代表）.（精确到0.01） 附： 20.（12分） x2y2 已知F 1,F2 是椭圆C： 2 + 2 =1(a b 0)的两个焦点， ab 原点。 1）若为等边三角形，求C的离心率； ，且 P 为C上的点，O为坐标 2）如果存在点P，使得 21.（12分） 已知函数 （1） （2） 的面积等于16，求b的值和a的取值范围。 f (x)= (x-1)ln x- x-1，证明： f (x)存在唯一的极值点； f (x) = 0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. （二） 选考题 ：共 10 分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分。 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） O为极点，在极坐标系中，点 0）且与OM垂直，垂足为P . （1）当时，求及l的极坐标方程； 在曲线上， 直线l过点A （4， （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知f (x) = x - a x + x - 2 (x - a). （1）当a=1时，求不等式f (x) 0的解集； （2）若时，，求a的取值范围. 页 6