中考数学隐形圆专题含答案

类型一：定点到动点定长类型一：定点到动点定长 点A为定点，点B为动点，AB为定长， 则点B的轨迹为圆心为点A，半径为AB的圆。 【经典例题经典例题 1 1】如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，E 是 AB 边的中点，F 是线段 BC 边上的动点，将△EBF 沿 EF 所在直线折叠得到△EB′F，连接 B′D，则 B′D 的最小值是___. 【解析】如图所示：当∠BFE=∠B′EF，点 B′在 DE 上时，此时 B′D 的值最小， 根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F， ∴EB′⊥B′F， ∴EB′=EB， ∵E 是 AB 边的中点，AB=4， ∴AE=EB′=2， ∵AD=6， ∴DE=6222 2 10， ∴B′D=2 10−2. 练习练习 1-11-1如图③， 矩形 ABCD 中， AB=3， BC=4， 点 E 是 AB 边上一点， 且 AE=2， 点 F 是 BC 边上的任意一点，把△BEF 沿 EF 翻折，点 B 的对应点为 G，连接 AG、CG，四边形 AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此 时 BF 的长度。若不存在，请说明理由。 【解析】（3）如图 3， △四边形 ABCD 是矩形， △CD=AB=3，AD=BC=4，△ABC=△D=90°，根据勾股定理得，AC=5， △AB=3，AE=2， △点 F 在 BC 上的任何位置时，点 G 始终在 AC 的下方， 设点 G 到 AC 的距离为 h， △S 四边形 AGCD=S△ACD+S△ACG= 11115 AD×CD+AC×h=×4×3+×5×h=h+6， 22222 △要四边形 AGCD 的面积最小，即：h 最小， △点 G 是以点 E 为圆心，BE=1 为半径的圆上在矩形 ABCD 内部的一部分点， △EG△AC 时，h 最小， 由折叠知△EGF=△ABC=90°， 延长 EG 交 AC 于 H，则 EH△AC， 在 Rt△ABC 中，sin△BAC= BC4 =， AC5 在 Rt△AEH 中，AE=2，sin△BAC= EH4 =， AE5 △EH= 48 AE=， 55 83 △h=EH-EG=-1= 55 △S 四边形AGCD最小= 55315 h+6=×+6=． 2252 练习练习 1 1- -2 2 如图，等边△ABC 的边 AB=8，D 是 AB 上一点，BD=3，P 是 AC 边上 一动点，将△ADP 沿直线 DP 折叠，A 的对应点为 A ，则 CA 的长度最小值 是. 【解析】2 练习练习 1 1- -3 3 如图，在平行四边形 ABCD 中，△BCD=30°，BC=4，CD=3 3，M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上的一动点， 将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△AMN， 连接 A C，则 A C 长度的最小值是. D M A N 第4题图 B C A 【解析】如图，连接 MC；过点 M 作 ME△CD， 交 CD 的延长线于点 E； △四边形 ABCD 为平行四边形， △AD△BC，AD=BC=4， △点 M 为 AD 的中点，△BCD=30△， △DM=MA=2，△MDE=△BCD=30△， 1 △ME=DM=1，DE=3， 2 △CE=CD+DE=43，由勾股定理得： CM2=ME2+CE2， △CM=7 由翻折变换的性质得：MA′=MA=2， 显然，当折线 MA′C 与线段 MC 重合时， 线段 A′C 的长度最短，此时 A′C=7−2=5， 故答案为 5. 练习练习 1-41-4如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A=60∘ ，点 M 是 AD 边的中点， 点 N 是 AB 边上一动点，将△ AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到△ A′MN，连结 A′C，则 A′C 长度的最小值是() A.7B.7−1C.3D. 2 【解析】如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即 A′在 MC 上时， 过点 M 作 MF⊥DC 于点 F， ∵在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A=60∘ ，M 为 AD 中点， ∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60∘ ， ∴∠FMD=30∘ ， ∴FD= 11 MD=， 22 ∴FM=DM×cos30∘ = 3 ， 2 ∴MC=FM2CF27， ∴A′C=MC−MA′=7−1. 故选：B. 变式：在Rt△ ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点 E为边BC上的动点，将△ CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距 离的最小值是_____ 解题思路：解题思路：同上题，不难看出点P的运动轨迹为以点F为圆心， PF为半径的圆上运动， 求点P到AB的距离最小， 可 过点F作AB的垂线于点M，交圆 F于点P，此时， 最小值为PM。 根据△ AMP∽△ACB可以先求出PM 的值， A 再根据PM=FM-FP，可算出最小值。 M F P B 证明：证明：参照知识点储备4，点直线距离。 C 变式变式 1. 1.如图如图 1 1，四边形，四边形 ABCDABCD 中，中，ABAB= =ACAC= =ADAD，若∠，若∠CADCAD=76°=76°，则，则 ∠∠CBDCBD=_______=_______度。度。 【解析】如图如图 ，因为，因为 ABAB= =ACAC= =ADAD，故，故 B B、、C C、、D D 三点在以三点在以 A A 为圆心的圆上，为圆心的圆上， 故∠故∠CBDCBD= = 1 ∠∠ CADCAD=38°=38° 2 变式 2 如图，在△ABC 内有一点 D，使得 DA=DB=DC，若∠DAB=20°， ∠DAC=30°则∠BDC=__________。 【解析】100° 类型二：定角对定长类型二：定角对定长 题型识别：题型识别： 有一条长度固定的线段，这条线段所对的张角固定不变。 总结：总结： 定角对定长，关键在于确定圆心的位置和半径的大小。 确定圆心确定圆心---圆心在定长线段的垂直平分线上，再根据圆周角与圆心角之间的关 系，求出此定角所对的圆心角的大小，即可确定圆心的位置。 计算半径计算半径---根据垂径定理及锐角三角函数可求半径的大小。 【经典例题经典例题 2 2】如图，F 是正方形 ABCD 的边 CD 上一动点，AB=2，连接 BF， 过 A 作 AH△BF 交 BC 于 H，交BF 于 G，连接 CG，当CG 为最小值时，CH 的 长为（）. 2 5 C.3-5D.35 5 A.2B. 【解析】如图 1 中，取 AB 的中点 O，连接 OG，OC. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90∘ ， ∵AB=2，∴OB=OA=1， ∴OC=OB2 BC2 12225， ∵AH⊥BF，∴∠AGB=90∘ ， ∵AO=OB，∴OG= 1 AB=1， 2 ∵CG⩾OC−OG， ∴当 O，G，C 共线时，CG 的值最小，最小值=5−1(如图 2 中)， ∵OB=OG=1，∴∠OBG=∠OGB， ∵AB∥CD，∴∠OBG=∠CFG， ∵∠OGB=∠CGF，∴∠CGF=∠CFG， ∴CF=CG=5−1， ∵∠ABH=∠