初中数学抛物线与几何专题训练及答案

精品文档---下载后可任意编辑 抛物线与几何问题 【知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：(a≠0)；2、顶点式：y =a(x—h) 2＋k；3、交点式：y=a(x—x 1)(x—x 2 ) ，这里x 1、x 2是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。 【典型例题】 【例1】 (浙江杭州)在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二 次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B。 （1）是否存在这样的抛物线F， ？请你作出推断，并说明理由； （2）假如AQ∥BC，且tan∠ABO=，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【思路点拨】（1）由关系式来构建关于t、b的方程；(2)讨论 t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的解析式。 【例2】(江苏常州)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点. （1）求点A的坐标; （2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特别四边形的顶点P的坐标; （3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S, 点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线的函数关系式是y=-2x，所以应讨论①当点P在第二象限时，x0这二种情况。 B O A P M 【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动． （1）求线段所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点的横坐标为, ①用的代数式表示点的坐标； ②当为何值时，线段最短； （3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（2）构建关于的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点落在直线的下方时、当点落在直线的上方时讨论。 【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝． （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F， 使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上 一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积. 【思路点拨】（2）可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形时，求F点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论①当直线MN在x轴上方时、②当直线MN在x轴下方时二种情况。（4）构建S关于x的二次函数，求它的最大值。 【例5】（山东济南）已知：抛物线(a≠0)，顶点C (1，)，与x轴交于A、B两点，． （1）求这条抛物线的解析式． （2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M， PN⊥DB于N，请推断是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． C O x A D P M E B N y （3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请推断是否成 立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【思路点拨】（2）证△APM∽△ABE， 同理: （3）证PH=BH且△APM∽△PBH 再证△MEP∽△EGF可得。 【学力训练】 1、（广东梅州）如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标； （2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L． （3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由） 2、（广东肇庆）已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上. （1）求抛物线与x轴的交点坐标； （2）当a=1时，求△ABC的面积； （3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？假如存在，试给出一个，并加以证明；假如不存在，说明理由. 3、（青海西宁）如图，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点． y x O A B M O1 （1）求二次函数的解析式； （2）求切线的函数解析式； （3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． A O x y B F C 4、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点． （1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标； （2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5 、（四川资阳）如图，已知点A的坐标是（－1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD?假如存在，请求出点P的坐标；假如不存在，请说明理由． y x O D E C F A B 6、（辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的 负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点． （1）推断点是否在轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请