立体几何中有关平行、垂直常用的判定方法
有关平行、垂直问题常见判定方法有关平行、垂直问题常见判定方法 一、一、 线线平行的判定线线平行的判定 b 1 1、、 公理公理 4 4：平行于同一直线的另两直线：平行于同一直线的另两直线 c 互相平行互相平行. . a ∥∥ b ，， b ∥∥ c ==== a ∥∥ c 2 2、、 三角形中位线平行于底边；平行四边三角形中位线平行于底边；平行四边 形对边平行；棱柱侧棱互相平行．形对边平行；棱柱侧棱互相平行． a 3 3、、 线面平行的性质：一条直线与一个平线面平行的性质：一条直线与一个平 面平行，过该直线的平面与已知平面相面平行，过该直线的平面与已知平面相 交，该直线与交线平行．交，该直线与交线平行． a ∥∥ ，， a ，， I = = b ==== a ∥∥ b a b α β 4 4、、 面面平行的性质：两个平面平行，同面面平行的性质：两个平面平行，同 时与第三个平面相交，所得的两条交线时与第三个平面相交，所得的两条交线 互相平行．互相平行． ∥∥ , , I = = a , , I = = b ==== a ∥∥ b γ a b α β 5 5、、 平行于同一平面的两直线互相平行．平行于同一平面的两直线互相平行． a ⊥⊥ ，， b ⊥⊥ ==== a ∥∥ b a α b 二、二、 线面平行的判定线面平行的判定 1 1、、 线面平行的判定定理：若平面外的一线面平行的判定定理：若平面外的一 条直线与此平面内的一条直线平行，则条直线与此平面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行．该直线与此平面平行． a ，， b ，， a ∥∥ b ==== a ∥∥ a α b 2 2、、 若两平面平行，则一个平面内的任一若两平面平行，则一个平面内的任一 直线与另一平面平行．直线与另一平面平行． ∥∥ ，， a ==== a ∥∥ α β a 3 3、、 ⊥⊥ ，， a ⊥⊥ ，， a ==== a ∥∥ β a α 4 4、、 a ⊥⊥ b ，， b ⊥⊥ ，， a ==== a ∥∥ ba α 三、三、 面面平行的判定面面平行的判定 1 1、、 面面平行的判定定理：若一个平面内面面平行的判定定理：若一个平面内 有两条相交直线都平行于另一个平面，有两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．那么这两个平面平行． a ，， b ，， aIb = = O , , a ∥∥ , , b ∥∥ ==== ∥∥ a O b α β a α β 2 2、、 垂直于同一直线的两个平面互相平垂直于同一直线的两个平面互相平 行．行． a ⊥⊥ ，， a ⊥⊥ ==== ∥∥ ( (见上图见上图) ) 3 3、、 平行于同一平面的两个平面互相平平行于同一平面的两个平面互相平 行．行． ∥∥ ，， ∥∥ ==== ∥∥ α β γ 4 4、、 柱体的上下底面互相平行柱体的上下底面互相平行 四、四、 线线垂直线线垂直 a 与与 b 所成的角为直角．所成的角为直角．1 1、、 线线垂直的定义：线线垂直的定义： 2 2、线面垂直的定义：若一条直线与一个、线面垂直的定义：若一条直线与一个 平面垂直，则该直线与平面内的任一直线平面垂直，则该直线与平面内的任一直线 都垂直．都垂直． a ⊥⊥ ，， b ==== a ⊥⊥ b a α b 3 3、、 a ⊥⊥ ，， b ∥∥ ==== a ⊥⊥ b a α b 4 4、三垂直定理及其逆定理、三垂直定理及其逆定理 l ⊥⊥ ( ( H H 为垂足为垂足) )，， a ，，HMHM 是斜线是斜线 PMPM 在平面在平面 内的射影内的射影 三垂线定理（垂影则垂斜）三垂线定理（垂影则垂斜） ：： a ⊥⊥HMHM ==== a ⊥⊥PMPM 三垂线定理的逆定理（垂斜则垂影）三垂线定理的逆定理（垂斜则垂影） ：： a ⊥⊥PMPM==== a ⊥⊥HMHM P l α H M a 5 5、、 a ⊥⊥ ，， b ⊥⊥ ，， ⊥⊥ ==== a ⊥⊥ b α b a β 五、线面垂直的判定五、线面垂直的判定 1 1、线面垂直的判定定理：若一直线和平、线面垂直的判定定理：若一直线和平 面内的两相交直线都垂直，则该直线与此面内的两相交直线都垂直，则该直线与此 平面垂直．平面垂直． a ，， b , , aIb = = O , , l ⊥⊥ a , , l ⊥⊥ b ==== l ⊥⊥ l α O b a 2 2、、 a ∥∥ b ，， a ⊥⊥ ==== b ⊥⊥ a α b 3 3、直棱柱的侧棱与底面垂直、直棱柱的侧棱与底面垂直 4 4、一条直线垂直于两平行平面中的一个、一条直线垂直于两平行平面中的一个 平面，也垂直于另一个平面平面，也垂直于另一个平面 ∥∥ ，， a ⊥⊥ ==== a ⊥⊥ a α β 5 5、面面垂直性质：两平面垂直，一个平、面面垂直性质：两平面垂直，一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一面内垂直于它们交线的直线垂直于另一 个平面．个平面． ⊥⊥ ，， I = = l ，， a ，， a ⊥⊥ l ==== a ⊥⊥ α a l β 5 5、、 两相交平面同时垂直于第三个平面，两相交平面同时垂直于第三个平面， 则它们的交线也与第三个平面垂直．则它们的交线也与第三个平面垂直． I = = l ，， ⊥⊥ , , ⊥⊥ ==== l ⊥⊥ α l β γ 六、面面垂直的判定六、面面垂直的判定 1 1、定义、定义: :两平面相交所成二面角为直二面两平面相交所成二面角为直二面 角角. . 2 2、判定定理、判定定理: :若一个平面经过另一个平面若一个平面经过另一个平面 的一条垂线，则这两个平面互相垂直的一条垂线，则这两个平面互相垂直. . a ⊥⊥ ，， a ==== ⊥⊥ α a l β 2 2、、 a ∥∥ ，， a ⊥⊥ ==== ⊥⊥ α a β
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