裂项相消法

裂项相消法裂项相消法 数列的通项拆成两项之差， 即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求 和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和 c 方法称为裂项相消法。 适用于类似（其中a n是各项不为零的等差数列，  a a  nn1  c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的 裂项方法： （1） 11111 11 ，特别地当时，  k 1  nn1nn1nnkknnk （2） 11  nk nk  nk n，特别地当k 1时  1 n1n n1n 例 1、数列a n的通项公式为 an 解：S n  a 1 a 2 a 3 L a n1 a n  1 ，求它的前n项和S n n(n1) 11111 L  122334 n1n nn1 1   1 1 1  1 1 1 1 1    =1     L  22334n1nnn1  1n  n1n1 小结： 裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项 是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相 同. 1 针对训练、求数列 1111 ,,,L , ,L 的前n项和S n . 122 33 2n n1 例题 2：(2015 安徽,18,12 分)已知数列{an}是递增的等比数列,且 a1+a4=9,a2a3=8. (1)求数列{an}的通项公式; 设 Sn为数列{an}的前 n 项和,bn= n}的前 n 项和 Tn. 由题设知 a1·a4=a2·a3=8, ,求数列(2) {b (1) 又 a1+a4=9,可解得 由 a 3 4=a1q 得公比为 q=2,故 a n-1n-1 n=a1q =2 . 或 (舍去). (2)Sn= bn= =2n-1,又 = = - , 所以 Tn=b1+b2+… +bn=+ +… += - =1- . 例三：等差数列 ，且 成等比数列． 的公差为 Ⅰ）求数列 公式； 的通项（ Ⅱ）设，求 的 数列 前 （ 解：(Ⅰ) ． ， 项和 又成 ， 等比数列，所以 所以 ， ． 解 所 得 以 ， (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 则 ，