抽屉原理讲义

鸽巢原理讲义鸽巢原理讲义 教学重难点教学重难点 重点：掌握抽屉原理的两种基本形式。 难点：能够将实际问题转化成抽屉原理所反映的典型形式。 掌握抽屉的设计，苹果的设计以及苹果的放法。 知识纵横：知识纵横： “ 抽屉原理”又称“鸽笼原理”，最先是由“ 抽屉原理”又称“鸽笼原理”，最先是由 1919 世纪的德国数学家狄利克雷世纪的德国数学家狄利克雷 提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解决实际问题中有着广提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解决实际问题中有着广 泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问 题，题， 并且常常能得到一些令人惊异的结果。并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。下面我们应用这一原理解决问题。 教学内容教学内容 三个苹果放进两个抽屉，总有某个抽屉的苹果数不止一个，这个结论是很明 显的，但这当中蕴含着一个有趣的数学现象被称为抽屉原理。 抽屉原理一般有两种基本形式：抽屉原理一般有两种基本形式： 一、将 n+1 个苹果放入 n 个抽屉中，则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果； 二、将 m×n+1 个苹果放入 n 个抽屉中，则必须有一个抽屉中至少有（m+1） 个苹果 1 应用抽屉原理解题的一般步骤是：应用抽屉原理解题的一般步骤是： 1.分析题意，将实际问题转化成抽屉原理所反映的典型形式，即指出“抽屉” 和“苹果”； 2.设计“抽屉”的具体形式，构造“苹果”； 3.运用原理，得出在某个抽屉中“苹果”的个数，最终回归到原理的结论上。 其中，抽屉的设计，苹果的设计及苹果的放法是应用抽屉原理解决问题的关 键。 例题讲解例题讲解 例例 1 1：：某班有 42 名同学，至少有多少名同学在同一个月出生？ ［分析］［分析］把 42 名同学的出生月份看做 42 个元素，把一年 12 个月看成 12 个 抽屉，因为 42=12×3+6。所以依据抽屉原理二，至少在一个月里有 3+1=4（名）同学出生。 【举一反三】【举一反三】 五年级有 128 名同学，其中至少有多少个同学在同一周过生日？ 例例 2 2：：一副扑克牌有 4 种花色，每种花色有 13 张，从中任意抽牌，问最少要 抽多少张牌才能保证是同一花色的？ 2 【举一反三】【举一反三】 一个口袋里分别有红、黄、黑球 4,7,8 个，为使取出的球中保证能有六个同 色，则至少要去小球多少个？ 例例 3 3：：学校组织 2006 名同学去春游，现有解放公园、野生动物园、水族公园 三个景点，规定每人至少去一处，最多去两处游览，那么至少有多少个同学 游览的地方相同？ 【分析分析】先分类求出每人去一处或两处的种数，再根据抽屉原理，把种数设 为“抽屉”，把2006 名学生作为“苹果”。因为规定每人最少去一处，最多 去两处游览，所以去一处的有：解放公园，野生动物园，水族公园。去另一 处的有： 解放公园-野生动物园， 解放公园-水族公园， 野生动物园-水族公园。 总共有 6 种， 即 6 个抽屉， 而 2006=334×6+2， 根据抽屉原理至少有 334+1=335 （人）。 【举一反三】【举一反三】 “六一”儿童节老师买来一些铅笔、橡皮和直尺，奖给全班40 名同学，每人 都得到其中的一、二或三种，那么，他们当中至少有几个同学得到的学习用 具相同？ 3 例例 4 4：：黑色、白色、黄色的筷子各有 8 根，混杂地放在一起，黑暗里想从这 些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取多少根才能保证达到要求？ 【分析分析】从最不巧的情况想，摸出的 8 根筷子全是相同颜色，这就有一双筷 子颜色相同。另外还剩下两种颜色的筷子，再从最坏的情况看，从余下的两 种颜色的筷子中摸出两根颜色不同的筷子，再摸一根筷子，无论是什么颜色， 都能保证得到一双颜色相同的筷子。 所以至少要取 8+2+1=11 根筷子才能保证 达到要求。 【举一反三举一反三】 五（1）班的同学要从 10 名候选人中投票选举班干部，如果每个同学只能投 票选举两名候选人，那么，这个班至少应有多少个同学，才能保证必有两个 以上的同学投相同的两名候选人的票？ 例例 5 5：：任意 5 个整数，说明其中一定能选出 3 个数，使它们的和能被 3 整除。 【分析分析】我们从这 5 个被 3 整除的余数考虑起。三个数的和能被 3 整除，这 三个数只有以下两种情况： 1. 这三个数被 3 除的余数都相同； 2. 这三个数被 3 除的余数都不相同。从这两种情况加以说明： （1） 若这 5 个余数中，有三个余数互不相同，则取出这三个数的和一定能 被 3 整除。 （2） 若这 5 个余数中，找不到互不相同的 3 个余数，则 3 个余数中至多出 现 2 个，则这 5 个余数中至少有 3 个余数为 0,1 或 2。此时只要取出 这 3 个被 3 除余数相同的和，则这 3 个数的和就能被 3 整除。 4 【举一反三举一反三】 从 2,4,6，…，30 这 15 个偶数中任取 9 个数，试说明其中一定有两个数之和 是 34。 例例 6 6：：在 1,3,5,7，…，97,99 这 50 个奇数中，最多能取出多少个数，使其 中任何一个都不是另一个的倍数？ 【分析分析】这50 个数都是奇数，如果其中某两个数，一个是另一个的倍数，则 一定是奇数倍并至少为 3 倍，所以这些数中超过 33 的数，他们的倍数都不在 这 50 个数中。即从 35 到 99 这 33 个数中，任何一个都不是另一个的倍数。 但这 33 个数是否是最多的选法呢？我们把一个数是另一个数的倍数的情况 进行分类整理： （1,3,9,27,81）； （5,15,45）； （7,21,63）； （11,33,99）； （13,39）；（17,51）；（19,57）；（23,69）；（25,75）；（29,87）； （31,93）。这11 个括号内，每个括号最多取一个数，从而这11 个括号中的 数至少有 17 个取不到。从而所有 50 个数中，至多能取出 50-17=33 个数。 【举一反三举一反三】 从整数 1,2,3，…，100 中任选 51 个数，请说明在选出的数中，至少有两个 数，其中的一个数是另一个数的倍数？ 5 课后作业课后作业 设计设计 1. 三个小朋友一起做游戏，试说明其中必有两个小朋友的性别相同。 2. 实验小学有 850 名同学，从这些同学中任意选出 27 名同学，其中至少有 几个学生的属相是相同的？ 3. 袋子里有红、黄、蓝、白四种颜色的珠子各 15 粒，闭上眼睛想要摸出颜 色相同的 6 粒珠子，至少要摸出几粒珠子，才能保证达到目的？ 4. 从 1 到 20 这 20 个数中，任取 11 个数必有两个数，其中一个数是另一个 数的倍数？ 5. 在 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34 中任选出 7 个不同的数，其中必 有两个数的和为 35。 6. 停车场上有 40 辆客车。各种客车座位数不同，最少的有27 座。那么，在 这些客车中，至少有几辆的座位数量是相同的？ 7. 一次北京夏令营组织 200 名同学游览故宫、景山