综合国力的数学建模

综合国力的数学建模 王 树禾 (中国科学技术 大学) 摘要 本文考虑社会文明与社会丑恶现象的制约机制,成立一个综合国力的非线 中心与细核心性 数学模型,从数学上讨论相应的二次微分系统的H op f分叉、 的判 定、 极限环的存在唯一性等问题,并对数学结论予以合理解释,把社会相平 面划分 成社会进展区域、 社会动荡区域和社会崩溃区域,研讨社会走向,肯定纳 入社会发 展区域的途径. 关键词数学模型,二次微分系统, Hop f分叉,极限环,综合国力. 分类号(中图)O 29; (1991M R)92H10. 一、 数学建模 一个国家的物质文明与精神文明综合而成的社会文明或曰综合国力,其已有水平及 其 走 向决定该国的强弱兴衰,定量地研究各国的综合国力,能够为本国内政与外交政策 的制 定,提供重要依据.做为现今重大科研课题,美国、 日本、 中国和欧洲各主要国家都组 织科学 家进行研究1. 1981年,乔治敦大学战略与国际研究中心主任 、 美国中央情报局前副局长Rr克莱因 教 授给出综合国力公式 P p =(C+E+M)×(S+W ), (Α) 其中P p 是综合国力,C是大体实体,E是经济实力,M是军事实力,S是战略用意,W是贯 彻 国家战略的意志. Ξ 本文1995年11月13日收到. 1996年8月21日收到修改稿. 1 1987年,日本综合研究所出版 《日本综合国力》 一书,其国力方程为 P=(C+E+M)×(G+D ), (Β) 其中G为国内政治能力,D为外交能力. (Α) (Β)只对已有国力进行气宇,未考虑时刻因素引发的进展与转变,无预报功能.我国 著名军事未来学家黄硕风教授, 1988年在 《美苏争霸战略问题》 一文中引入国力转变的微分 动力学模型,其国力主方程为L ogistic方程 d yy t ,=Θy t 1 - Md t t (Χ) 其中y t 是国力函数1,黄还给出国力要素中一系列子方程. 咱们基于社会进展的动力学思想,在本文中成立综合国力的二次微分系统来探讨综合 国力的长消规律. (资源、称X(t)为硬国力函数,X(t)是某国物质文明经济、 军事、 科技等)水平的一个综 合指标.X(t)越大,物质文明越繁荣. X=X 0 是正常数,表示X(t)的警戒线. (内政外交决策的失误与正确,官员的称y(t)为软国力函数,y(t)是某国精神文明问题 腐败与廉洁,国民教育的失败与成功,社会治安情形的严峻与良好等)的一个综合指标. (决策失误、 y (t ) 0 对应社会丑恶现象教育失败、 官贪民盗等 ), 这时软国力对社会进展有 (决策英明、阻滞作用;y(t) 0, cΛ-ab (5) (6)无闭所以当a≤b时,D≤0,等号仅在a=b且u= 0时发生,由D u lac准则,方程组 轨.定理1证毕. ab-cΛ (5) (6)有两个有限奇点(0, 0)和(u 0, v 0 ) = 定理2方程组,au 0 (1 - u0 ) ; ab-c (u 0, v 0) 在第一象限,是鞍点; (0, 0)当a 0,又 Λ 0,ab-cΛΚ-∃ Κ+ 1 = 0,由于m 4∆Β b时, 0 ∃ 0的共轭复数,故(0, 0)是不稳固粗焦点. 当a= b时,∃= 0, (13) (14)是 dx d t d t 22 = -y+a20 x+a11xy+a02y, dy =x+b20 x+b11x y+b02y 22 的特例,在(13) (14)中,a 20 =L,b20=A,a 02 =b02=a 11 =b11= 0,求得第一核心量15 W 1 =(a20+a02) (a11+ 2b02 ) - (b20+b02) (b11+ 2a20) = -2A L 0, (0, 0)是稳固的一阶细焦点由2定理12. 2可得. 由Hopf分叉理论, 0 a-bν1时,在(0, 0)外围至少存在一个稳固的极限环. 又(11) (12)是叶彦谦意义下第 ¦类二次微分系统 d x d t d y = -y+∃x+L x2+m x y+ny2, =x(1 +Ax) (A≠ 0) L(5) (6)无极 m=n= 0的情形.由13定理2. 2知,当 ∃≤0或 ∃≥A 时, (13) (14)进而 限环,而当 ∃∈0, L时, (5) (6)最多有一个极限环,且若存在,必为原点外围的单重稳定 d t A 7 环.所以当0 a(cΛ-ab) c-ab 时, (5) (6)无极限环.定理3证毕. 三、 社会意义 (Α+Χ)2 mb, 0 a(cΛ-ab) c-ab ,增加系数明显高于统治系数,则社会相平面只划分成社会进展 区 域和社会崩溃区域,而原点处于社会崩溃区域.在原点附近,社会丑恶现象并非严重,甚 (y(t) 0),但社会仍然趋于崩溃!在原点附近,即社会的物质文明与精神至 社会风气良好 文明都不发达,这种国家,不可只追求进展经济与军事而对社会的治理相对割弱.即增加系 数明显高于统治系数,对这种国家的前途十分有害,见图3. 4.若是社会状态处于社会进展区域,则在有限时刻内,物质文明趋于上界M,社会丑恶 (y(t) 0).现象收敛,进展成道德高贵的理想社会 5.若是社会状态处于社会崩溃区域,既使当初社会物质文明繁荣乃至在上界M附近, 随着时刻的推移,在有限时刻内,物质文明趋于崩溃线x= -X 0 (X= 0). 6.若社会状态不在社会进展区域,则应进行社会变革,加大改革与治理的力度,能够考 虑以下三种对策: 1) 暂时停滞经济、 军事等事业的进展,尽全力把社会丑恶现象打下去,即暂时使x(t)保 持不变,而使y(t)减小,使取得某时刻t1 , ( x(t1 ), y(t1) )落在社会进展区域内,如图1“1号箭 头” 所示. 2) 若社会丑恶现象的严峻程度尚在D I线以下,则只需维持其再也不加重,而全力发展 经 济等物质文明,使社会状态纳入社会进展区域,见图1“2号箭头.” 3) 对策 1) 与 2) 的联合实施,见图1的 “3号箭头.” 四、 参数估计 不同的国家对应不同的参数组{Α,Β,Χ,∆,m,M},为了具体地定量研究某国的综合国力 (x(t ), y(t ) ), 必需第一把该国的参数组肯定出来. 设x 1 (t ) = 经济实力,x 2 (t ) = 军事实力,,则 n x(t ) = ∑Α x (t ), ii i= 1 11其中权 Α i 可用层次分析方式由比分矩阵的主特征向量给出. 对历史上x i (t)的实况统计,可由问卷调查或专家评议等办法用百分制评分. k 对y(t)也可类似地处置,y(t ) = ∑Β iyi (t ). i= 1 (1) (2),可求得参数组{Α 把各个历史值(x(t ), y(t) )代入,Β,Χ,∆,m,M}的估量值. 参数组的肯定进程比较复杂,再也不详述. 衷心感激叶其孝教授、 黄硕风教授及编辑和审稿同志,他们给予本文写作很多鼓励、 指 导和修改意见. (本文作者通信地址:合肥市中国科学技术大学数学系 邮码230026) 11 参 考 文 献 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 黄硕风,综合国力论,中国社会科学出版社, 1