直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题

一、直角三角形的性质 1．一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1+∠2=度． 2．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 F，AG 平分∠DAC，求证：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③AG⊥EF． 3．如图所示，在△ABC 中，CD，BE 是两条高，那么图中与∠A 相等的角有 4．如图，已知△ABC 中，AB＞AC，BE、CF 都是△ABC 的高，P 是 BE 上一点且 BP=AC，Q 是 CF 延长线上一点且 CQ=AB，连接 AP、AQ、QP， 求证：△APQ 是等腰直角三角形． 二、含 30°角的直角三角形的性质 5．在Rt△ABC 中，∠ACB=60°，DE 是斜边 AC 的中垂线，分别交AB、AC 于 D、E 两点．若 BD=2，求 AD 的长 6．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA 交 OB 于 C，PD⊥OA 于 D，若 PC=6， 求 PD 的长 7．如图所示，矩形 ABCD 中，AB=AD，E 为 BC 上的一点，且 AE=AD， 求∠EDC 的度数 8．如图，△ABC 为等边三角形，点 D 为 BC 边上的中点，DF⊥AB 于点 F，点 E 在 BA 的延长线上，且 ED=EC，若 AE=2，求 AF 的长 9．如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，求 CD 的长 10．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，求证： （1）CD=DE； （2）AC=BE； （3）BD=2CD； 三、直角三角形斜边中线问题 11．如图，在△ABC 中∠A=60°，BM⊥AC 于点 M，CN⊥AB 于点 N，P 为 BC 边的中 点，连接 PM，PN，求证：△PMN 为等边三角形； 12．已知锐角△ABC 中，CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，M 是线段 BC 的中点， 连接 DM，EM． （1）若 DE=3，BC=8，求△DME 的周长； （2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°； （3）若 BC2=2DE2，求∠A 的度数． 13．如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，AB=AD，E、F 分别是 AC、BD 的中点， EF=2，求 AC 的长 14．如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E， PF⊥AC 于 F，M 为 EF 中点，求 AM 的最小值 15．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=20°，D 在 BC 上，AD=BD，E 为 AB 的中点，AD、CE 相交于点 F，求∠DFE 等于多少 16． 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90°， 将边 BC 沿斜边上的中线 CD 折叠到 CB′， 若∠B=50°，求∠ACB′=． 17．如图，△ABC 中，AB=AC，D 为 AB 中点，E 在 AC 上，且 BE⊥AC，若 DE=5， AE=8，求 BC 的长度 ． 18．如图，在平行四边形 ABCD 中，以 AC 为斜边作 Rt△ACE，又∠BED=90°． 求证：AC=BD． 19．已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 M 是 AB 边的中点，CH⊥AB 于 点 H，CD 平分∠ACB． （1）求证：∠1=∠2． （2）过点 M 作 AB 的垂线交 CD 延长线于 E，求证：CM=EM； （3）△AEB 是什么三角形证明你的猜想． 20．如图，已知在△ABC 中，延长 CA 到 D，使 BA=BD，延长 BA 到 E，使 CA=CE， 设 P、M、N 分别是 BC、AD、AE 的中点．求证：△PMN 是等腰三角形． 四、等腰直角三角形问题 21．如图，△ACB、△CDE 为等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F 为 BE 的中 点，求证：AF⊥DF，AF=DF． 22． 已知等腰直角三角形 ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高， AE 平分∠CAB 交 CD 于 E， 在 DB 上取点 F，使 DF=DE，求证：CF 平分∠DCB． 23．如图，△OBD 和△OCA 是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M 是线段 AB 中点，连接 DM、CM、CD．若 C 在直线 OB 上，试判断△CDM 的形状． 24．如图①，已知点 D 在 AC 上，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点 M 为 EC 的中点． （1）求证：△BMD 为等腰直角三角形； （2）将图①中的△ADE 绕点 A 逆时针旋转 45°，如图②所示，则（ 1）题中的结 论“△BMD 为等腰直角三角形”是否仍然成立请说明理由． 25．已知：如图△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E，F 分别在 线段 AB，AC 上，且∠EDF=90° （1）求证：△DEF 为等腰直角三角形； （2）求证：S 四边形 AEDF=S△BDE+S△CDF； （3）如果点 E 运动到 AB 的延长线上，F 在射线 CA 上且保持∠EDF=90°，△DEF 还仍然是等腰直角三角形吗请画图说明理由． 26．△ABC 中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC 于点 E，AD⊥BC 于点 D． （1） 如图 1， 作∠ADB 的角平分线 DF 交 BE 于点 F， 连接 AF． 求证： ∠FAB=∠FBA； （2）如图 2，连接 DE，点 G 与点 D 关于直线 AC 对称，连接 DG、EG ①依据题意补全图形； ②用等式表示线段 AE、BE、DG 之间的数量关系，并加以证明． 27．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 为 BC 中点，DE⊥AB，垂足为点 E，过点 B 作 BF∥AC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF、AF、AD，AD 与 CF 交于点 G． （1）求证：△ACD≌△CBF； （2）AD 与 CF 的关系是； （3）求证：△ACF 是等腰三角形； （4）△ACF 可能是等边三角形吗（填“可能”或“不可能”） ． 直角三角形斜边中线等腰直角三角形专题直角三角形斜边中线等腰直角三角形专题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 1． 【解答】解：如图，∠1=∠3，∠2=∠4（对顶角相等） ， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠2=90°． 故答案为：90． 【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，对顶角相等，熟记性质是解 题的关键． 2．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 F，AG 平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG ⊥EF．其中正确的结论是（） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD=∠C，再根据等角的余角相等可以求出 ∠AEF=∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出 AG⊥EF． 【解答】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC， ∴∠C+∠ABC=90°， ∠BAD+∠ABC=90°， ∴∠BAD=∠C，故①正